曖昧さ?の証明

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曖昧さ?の証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:09 UTC 版)

「ウッドの記法」の記事における「曖昧さ?の証明」の解説

"結晶軸の取り方"は標準化されていて、それ以外の取り方をしないので、行列による記法、ウッドの記法には共に曖昧さが無いことを先に説明した。ここでは、敢えて『結晶軸の取り方が標準化されていない』つまり、『結晶軸の取り方に任意性がある』場合、言い換えれば、ウッドの記法や行列による記法の定義が結晶軸ではなく、基本並進ベクトルに基づいて定義されていたとした場合、表記に本質的な曖昧さが生じることを数学的に証明してみよう。 証明 c 1 → , c 2 → がある表面の理想表面の格子 L の基本並進ベクトルとする。このとき d 1 → = c 1 → , d 2 → = c 2 → − c 1 → も又同じ格子 L の基本並進ベクトルである。 このとき、 c 1 → , c 2 → を c 1 → 方向に3倍し、 c 2 → 方向に2倍することで得られる格子を L 1 d 1 → , d 2 → を d 1 → 方向に3倍し、 d 2 → 方向に2倍することで得られる格子を L 2 としよう。このとき L 1 の基本並進ベクトルは、 f 1 → = 3 c 1 → , f 2 → = 2 c 2 → L 2 の基本並進ベクトルは、 g 1 → = 3 d 1 → , g 2 → = 2 d 2 → である。 ここで g 2 → の終点が、 L 1 の格子点だと仮定すると整数 z 1 , z 2 により、 g 2 → = z 1 f 1 → + z 1 f 2 → となるが、このことは、 ( 3 z 1 − 2 ) c 1 → = 2 ( 1 − z 2 ) c 2 → となることを意味する。ここで、 c 1 → , c 2 → は一次独立であるため、 3 z 1 − 2 , 1 − z 2 は共に0でなければならない。従って、 z 1 は整数ではありえない。このことは矛盾である。 従って、 g 2 → は、 L 1 の格子点ではない。このことは L 1 と L 2 が格子として異なることを意味する。■