擬距離の集合が同一の一様構造を定める為の条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
「一様空間」の記事における「擬距離の集合が同一の一様構造を定める為の条件」の解説
以上で示したように、集合X上の擬距離の集合は一様構造を定め、逆に一様構造から擬距離の集合が定まる。しかし擬距離の集合と一様構造との対応は「単射」ではなく、相異なる２つの擬距離の集合D、Eが同一の一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を定める事もある。しかしこうした集合D、Eは必ず最大の擬距離の集合 D U {\displaystyle D_{\mathcal {U}}} の部分集合になる事が、前述の定理から明らかに従う： 系 ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、 D U {\displaystyle D_{\mathcal {U}}} を U {\displaystyle {\mathcal {U}}} に関して一様連続な擬距離全体の集合とする。このとき、X上の擬距離の集合Eで、Eが定める一様構造が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} に一致するものとすると、Eは D U {\displaystyle D_{\mathcal {U}}} の部分集合である。 より直接的に、擬距離の集合D、Eが同一の一様構造を定める為の必要十分条件をネットの収束性に着目する事で定式化できる。そのためにまず記号を定義する： 記号の定義 ― Xを集合とし、DをX上定義された擬距離の集合とし、さらに ( x λ , x λ ′ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda },x'_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} をX×X上のネットとする。このとき、 ∀ d ∈ D : d ( x λ , x λ ′ ) → 0 {\displaystyle \forall d\in D~:~d(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0} の事を D ( x λ , x λ ′ ) → 0 {\displaystyle D(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0} と略記する。 上の記号において、収束の速度がd ∈ D毎に異なる事を許容している事に注意されたい。すなわちあるd ∈ Dに対しては d ( x λ , x λ ′ ) < ε {\displaystyle d(x_{\lambda },x'_{\lambda })<\varepsilon } であっても別のd' ∈ Dに対しては d ( x λ , x λ ′ ) ≥ ε {\displaystyle d(x_{\lambda },x'_{\lambda })\geq \varepsilon } となる事も起こりうる。よって特に sup d ∈ D d ( x λ , x λ ′ ) {\displaystyle \sup _{d\in D}d(x_{\lambda },x'_{\lambda })} は（仮にsupが有限値であっても）0に収束するとは限らない。 擬距離の集合が同一の一様構造を定める条件 ― Xを集合とし、D、EをX上定義された擬距離の集合とする。このとき、D、Eが同一の一様構造を定める必要十分条件はX×X上の任意のネット ( x λ , x λ ′ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda },x'_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、 D ( x λ , x λ ′ ) → 0 ⟺ E ( x λ , x λ ′ ) → 0 {\displaystyle D(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0\iff E(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0} が成立する事である。 擬距離の集合が同一の一様構造を定める条件 ― Xを集合とし、D、EをX上定義された擬距離の集合とする。このとき、D、Eが同一の一様構造を定める必要十分条件はX×X上の任意のネット ( x λ , x λ ′ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda },x'_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、 D ( x λ , x λ ′ ) → 0 ⟺ E ( x λ , x λ ′ ) → 0 {\displaystyle D(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0\iff E(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0} が成立する事である。 擬距離の集合D、Eが同一の一様構造を定めるとき、D、Eは一様同値（英: uniformly equivalent）であるといういう。 擬距離の任意の集合Dは一様有界な擬距離の集合と必ず同値になる： 定理 ― Xを集合とし、DをX上定義された擬距離の集合とする。さらに任意の擬距離dに対し、 d ∗ ( x , y ) := arctan ( d ( x , y ) ) {\displaystyle d_{*}(x,y):=\arctan(d(x,y))} と定義する。このとき、Dは E = { d ∗ ∣ d ∈ D } {\displaystyle E=\{d_{*}\mid d\in D\}} と一様同値である。しかもEは以下の意味で一様有界である sup { d ∗ ( x , y ) ∣ x , y ∈ X , d ∗ ∈ E } < ∞ {\displaystyle \sup\{d_{*}(x,y)\mid x,y\in X,d_{*}\in E\}<\infty }
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