擬距離化可能性・距離化可能性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
「一様空間」の記事における「擬距離化可能性・距離化可能性」の解説
これまで擬距離の集合により定まる一様構造について述べてきたが、一様構造がただ一つの（擬）距離から定まる条件を特徴づける事もできる： 定義・定理 (擬距離化可能性・距離化可能性) ― 集合X上の一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} がただ一つの擬距離dからなる集合 { d } {\displaystyle \{d\}} から定まっているとき、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} は擬距離化可能であるという。特にdが距離であれば距離化可能であるという。 一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が擬距離化可能である必要十分条件は U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の可算な部分集合 B ⊂ U {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {U}}} で、以下を満たすものが存在する事である： ∀ U ∈ U ∃ B ∈ B : B ⊂ U {\displaystyle \forall U\in {\mathcal {U}}\exists B\in {\mathcal {B}}~:~B\subset U} また U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が擬距離化可能で、しかも U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める位相がハウスドルフであれば、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} は距離化可能である。 なお、一様構造自身の距離化可能性と一様構造が定める位相の距離化可能性は必ずしも一致せず、一様構造自身が距離化可能ではないのに、一様構造が定める位相の距離化可能な場合がある。 具体例 （具体例） Xを非可算濃度の任意の整列集合とし、さらに各α ∈ Xに対し、 U α := { ( β , γ ) ∈ X × X ∣ β = γ or β , γ ≥ α } {\displaystyle U_{\alpha }:=\{(\beta ,\gamma )\in X\times X\mid \beta =\gamma {\text{ or }}\beta ,\gamma \geq \alpha \}} とすると U α − 1 = U α {\displaystyle U_{\alpha }{}^{-1}=U_{\alpha }} 、 U α ∘ U α = U α {\displaystyle U_{\alpha }\circ U_{\alpha }=U_{\alpha }} が容易に示せるので、 S := ( U α ) α ∈ X {\displaystyle {\mathcal {S}}:=(U_{\alpha })_{\alpha \in X}} は前一様構造である。 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の生成する一様構造を U {\displaystyle {\mathcal {U}}} とする。 （ U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める位相が距離化可能な事） β ≥ α {\displaystyle \beta \geq \alpha } を満たすα, β ∈ Xに対し、 U α [ β ] = { γ ∈ X ∣ ( β , γ ) ∈ U α } = { β } {\displaystyle U_{\alpha }[\beta ]=\{\gamma \in X\mid (\beta ,\gamma )\in U_{\alpha }\}=\{\beta \}} であるので、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} はXに離散位相を定め、離散位相は離散距離により距離化可能である。 （ U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 自身は擬距離化不能な事） U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が擬距離化可能であれば U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の可算部分集合 B = { B k ∣ i ∈ N } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B_{k}\mid i\in \mathbb {N} \}} が存在し、 ∀ U ∈ U ∃ k ∈ N : B k ⊂ U {\displaystyle \forall U\in {\mathcal {U}}\exists k\in \mathbb {N} ~:~B_{k}\subset U} ...(1) を満たす。 定義から U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の任意の元は S = ( U α ) α ∈ X {\displaystyle {\mathcal {S}}=(U_{\alpha })_{\alpha \in X}} の有限個の元 U α 1 , … , U α n {\displaystyle U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}} の和集合を部分集合として含むが、 ∩ i U α i = U min i α i {\displaystyle \cap _{i}U_{\alpha _{i}}=U_{\min _{i}\alpha _{i}}} なので、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の任意の元Uには U α ⊂ U {\displaystyle U_{\alpha }\subset U} を満たす α ( = min i α i ) {\displaystyle \alpha (=\min _{i}\alpha _{i})} が存在する事になる。 よって各 B k ∈ B ⊂ U {\displaystyle B_{k}\in {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {U}}} に対し、 U α k ⊂ B k {\displaystyle U_{\alpha _{k}}\subset B_{k}} を満たす U α k {\displaystyle U_{\alpha _{k}}} が存在する。 定義からXは非可算集合なので、可算個の元 ( α k ) k ∈ N {\displaystyle (\alpha _{k})_{k\in \mathbb {N} }} のいずれよりも大きい順序数 η {\displaystyle \eta } が存在する。 定義から任意の k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } に対し ( α k , η ) ∈ U α k ⊂ B k {\displaystyle (\alpha _{k},\eta )\in U_{\alpha _{k}}\subset B_{k}} であるが、 ( α k , η ) ∉ U η {\displaystyle (\alpha _{k},\eta )\notin U_{\eta }} である。よって ( α k , η ) ∈ B k ∖ U η {\displaystyle (\alpha _{k},\eta )\in B_{k}\setminus U_{\eta }} である。したがって U η {\displaystyle U_{\eta }} は(1)を満たさない事になり矛盾するので、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が擬距離化不能な事を示された。
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