擬リーマン多様体の性質とは? わかりやすく解説

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擬リーマン多様体の性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/02/27 02:53 UTC 版)

擬リーマン多様体」の記事における「擬リーマン多様体の性質」の解説

ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} がリーマン多様体モデル考えることができるように、平坦なミンコフスキー計量をもつミンコフスキー空間 R n − 1 , 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1,1}} は、ローレンツ多様体モデルである。同様にして、符号 (p, q) の擬リーマン多様体モデル空間は、 R p , q {\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}} であり、その計量は、 g = d x 1 2 + ⋯ + d x p 2 − d x p + 1 2 − ⋯ − d x p + q 2 {\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}} である。 リーマン幾何学基本的な定理は、擬リーマン的である場合一般化することができる。特に、リーマン幾何学の基本定理は、擬リーマン多様体に対して同様に成立する。このことは、付随する曲率テンソル沿った擬リーマン多様体上のレヴィ・チヴィタ接続について語ることを可能とする。他方リーマン幾何学定理一般場合には成り立たない定理多く存在する。たとえば、すべての滑らかな多様体与えられ符号をもつ擬リーマン計量とすることができるは成立しない。この場合には、あるトポロジカルな障害存在する。さらに、(擬リーマン多様体の)部分多様体が常に、擬リーマン多様体構造引き継ぐわけではない。たとえば、計量テンソルは、任意の光的な曲線上の計量テンソルは 0 となる。クリフトン・ポールのトーラス英語版)(CliftonPohl torus)は、コンパクトであるが完備ではない擬リーマン多様体の例をもたらした完備でないということはリーマン多様体の上では成立するホップ・リノーの定理英語版)は擬リーマン多様体の上では成立しない

※この「擬リーマン多様体の性質」の解説は、「擬リーマン多様体」の解説の一部です。
「擬リーマン多様体の性質」を含む「擬リーマン多様体」の記事については、「擬リーマン多様体」の概要を参照ください。

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