擬二重周期
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 09:57 UTC 版)
テータ関数は擬二重周期を持つ。 ϑ 1 ( v + 1 ; τ ) = − ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( v + 1 2 ) + 2 π i ( n + 1 2 ) = − ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( v + 1 2 ) + π i = ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( v + 1 2 ) = − ϑ 1 ( v ; τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v+1;\tau )&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})}}\\&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})+{\pi }i}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})}}\\&=-\vartheta _{1}(v;\tau )\\\end{aligned}}} ϑ 2 ( v + 1 ; τ ) = − ϑ 2 ( v ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{2}(v+1;\tau )=-\vartheta _{2}(v;\tau )} ϑ 3 ( v + 1 ; τ ) = ϑ 3 ( v ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{3}(v+1;\tau )=\vartheta _{3}(v;\tau )} ϑ 4 ( v + 1 ; τ ) = ϑ 4 ( v ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{4}(v+1;\tau )=\vartheta _{4}(v;\tau )} ϑ 1 ( v + τ ; τ ) = − ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( v + 1 2 ) + 2 π i ( n + 1 2 ) τ = − ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 + 1 2 ) ( v + 1 2 ) − π i τ − 2 π i ( v + 1 2 ) = − ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( v + 1 2 ) − π i τ − 2 π i ( v + 1 2 ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( v + 1 2 ) − π i τ − 2 π i v = − e − π i τ e − 2 π i v ϑ 1 ( v ; τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v+\tau ;\tau )&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})\tau }}\\&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+1+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+1+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})-{\pi }i{\tau }-2{\pi }i(v+{\frac {1}{2}})}}\\&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})-{\pi }i{\tau }-2{\pi }i(v+{\frac {1}{2}})}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})-{\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}}\\&=-e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta _{1}(v;\tau )\end{aligned}}} ϑ 2 ( v + τ ; τ ) = e − π i τ e − 2 π i v ϑ 2 ( v ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{2}(v+\tau ;\tau )=e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta _{2}(v;\tau )} ϑ 3 ( v + τ ; τ ) = e − π i τ e − 2 π i v ϑ 3 ( v ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{3}(v+\tau ;\tau )=e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta _{3}(v;\tau )} ϑ 4 ( v + τ ; τ ) = − e − π i τ e − 2 π i v ϑ 4 ( v ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{4}(v+\tau ;\tau )=-e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta _{4}(v;\tau )}
※この「擬二重周期」の解説は、「テータ関数」の解説の一部です。
「擬二重周期」を含む「テータ関数」の記事については、「テータ関数」の概要を参照ください。
- 擬二重周期のページへのリンク
