形式的表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/29 04:39 UTC 版)
二階偏導関数の対称性はたとえば、記号的には、 ∂ ∂ x ( ∂ f ∂ y ) = ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)} であると言い表せる。この等式は ∂ x ∂ y f = ∂ y ∂ x f {\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f} とも書ける。あるいは、対称性は xi についての偏導関数を取る微分作用素 Di に関する代数的ステートメントとしても書ける： D i ⋅ D j = D j ⋅ D i . {\displaystyle D_{i}\cdot D_{j}=D_{j}\cdot D_{i}.} この関係から Di によって生成される定数係数を持つ微分作用素の環が可換であることが従う。しかしもちろんこれらの作用素の定義域を明確にしなければならない。単項式が対称性を持つことを確認するのは容易であり、したがって定義域として xi たちの多項式を取ることができる。実際には滑らかな関数を定義域にとることが可能である。
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