ヤングの定理

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ヤングの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/23 09:10 UTC 版)

ヤングの定理（ヤングのていり、英: Young's theorem^[1]）は、ある条件の下で多変数関数に対する偏微分の順序を交換できることを述べる定理である（下記参照）。ヤングの定理はしばしば二階導関数の対称性（英: symmetry of second derivatives）、または混合微分の等価性（英: equality of mixed partials）とも呼ばれる。n 変数の関数 f (x₁, x₂, ..., x_n) について、x_i に関する偏導関数を f_i のように下付きの添え字 i で表せば、二階導関数の対称性とは、二階の偏導関数 f_ij とは、関数 f が

${\displaystyle f_{ij}=f_{ji}}$

方程式 (1) において示されている関数 f(x, y) は原点において対称な二階微分を持たない。

非対称な関数の例：

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ for }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ for }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

(1)

この関数はいたるところで連続だが、その代数的導関数は原点において未定義（英語版）である。x 軸に沿って y 導関数は ∂_y f |_{(x, 0)} = x であり、したがって：

${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f|_{(0,0)}=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\partial _{y}f|_{(\epsilon ,0)}-\partial _{y}f|_{(0,0)}}{\epsilon }}=1.}$

同様に y 軸に沿って x 導関数 は ∂_x f |_{(0, y)} = −y であり、したがって ∂_y∂_xf |_{(0, 0)} = −1 である。つまり、(0, 0) においては、∂_x∂_yf ≠ ∂_y∂_xf であり、この関数の混偏導関数が存在し他のすべての点において対称性を持つにもかかわらず、原点では非対称である。

一般に、極限操作の交換（英語版）は可換であるとは限らない。(0, 0) の近くの二変数と、h → 0 を最初にするのに対応するのと k → 0 を最初にするのに対応する

${\displaystyle f(h,k)-f(h,0)-f(0,k)+f(0,0)}$

上の 2 つの極限過程が与えられると、一次の項を見て、どちらが最初に適用されるかが問題になり得る。これは二階導関数が対称でない病的な例の構成を導く。この種の例は関数の各点ごとの値が問題になる実解析 (real analysis) の理論に属する。超関数と見たときには二階偏導関数の値は任意の点集合においてこれがルベーグ測度 0 である限り変えることができる。上の例においてヘッセ行列は (0, 0) を除いていたるところ対称であるから、シュワルツの超関数と見てヘッセ行列が対称であるという事実と全く矛盾はない。

リー代数

一階微分作用素 D_i をユークリッド空間上の無限小作用素（英語版）と考える。つまり、D_i はある意味 x_i 軸に平行な変換の 1-パラメータ群（英語版）を生成する。これらの群は互いに交換し、したがって無限小生成元もそうである。リーブラケット

${\displaystyle \left[D_{i},D_{j}\right]=0}$

はこの性質の反映である。言い換えると、別の座標に関する 1 つの座標のリー微分は 0 である。

出典

1. ^ http://are.berkeley.edu/courses/ARE210/fall2005/lecture_notes/Young%27s-Theorem.pdf
2. ^ James 1966.

参考文献

• 高木貞治「微分の順序」 『解析概論』（増訂）岩波書店、1946年。https://linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/zouteikaisekigairon_023.html。 
• James, R.C. (1966). Advanced Calculus. Belmont, CA, Wadsworth 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Partial derivative", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。

関連項目

• ヘッセ行列
• 滑らかな関数
• フーリエ変換
• シュワルツの超関数
• リー代数