高階偏導関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/28 20:59 UTC 版)
偏導関数がさらに偏微分可能ならば、偏微分を繰り返して高階（高次）の偏導関数 ∂ 2 f ∂ x 2 = f x x = ∂ x x f {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f} ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ( ∂ f ∂ y ) = f y x {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=f_{yx}} などを考えることができる。一般に多重指数 α = (a1, a2, ..., an) に対して |α| = a1 + a2 + ... + an として ∂ α f = ∂ | α | f ∂ x 1 a 1 ∂ x 2 a 2 ⋯ ∂ x n a n = f ( α ) {\displaystyle \partial _{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{a_{1}}\,\partial x_{2}^{a_{2}}\cdots \partial x_{n}^{a_{n}}}}=f^{(\alpha )}} を定義することができる。 たとえば 2 変数の関数 f(x, y) が偏微分可能で、さらに二つの偏導関数 fx , fy が偏微分可能なとき、f の二階の偏導関数は fxx , fxy , fyx , fyy の 4 つが定義できる。ここで、二つの偏導関数 fxy , fyx は一般には異なる関数であるが、これらの偏導関数が連続、つまり元の関数が C2 級であるならば、両者は一致する（ヤングの定理）。また、一致しないものとしては、たとえば全平面で定義される関数 f ( x , y ) = { x y ( x 2 − y 2 ) x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) , 0 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) . {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\cfrac {xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0),\\[10pt]0&(x,y)=(0,0).\end{cases}}} が挙げられる。実際このときは fxy(0, 0) ≠ fyx(0, 0) となる。
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