高階偏導函数版
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/21 17:50 UTC 版)
偏導函数に対する積の法則は ∂ n ∂ x 1 ⋯ ∂ x n ( u v ) = ∑ S ∂ | S | u ∏ i ∈ S ∂ x i ⋅ ∂ n − | S | v ∏ i ∉ S ∂ x i {\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}} と書ける。ただし、添字 S は集合 {1, …, n} の 2n 個ある部分集合の全てに亙る。例えば n = 3 のときは ∂ 3 ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ( u v ) = u ⋅ ∂ 3 v ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 1 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 2 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 2 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 1 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 3 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 1 ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x 2 ⋅ ∂ v ∂ x 3 + ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x 3 ⋅ ∂ v ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 ∂ x 3 ⋅ ∂ v ∂ x 1 + ∂ 3 u ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ⋅ v {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\\\&{}=u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\\\&{}\qquad +{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v\end{aligned}}} となる。
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