高階余因子行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/11 19:34 UTC 版)
A を n次正方行列とし、r ≥ 0 を固定する。A の r階余因子行列とは、 ( n r ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{r}}} 次正方行列であり、adjr A で表す。その成分は {1, …, m} の r 個元からなる部分集合 I, J から番号を取るものとする。Ic, Jc はそれぞれ I, J の補集合を表すものとする。 A I c , J c {\displaystyle A_{I^{c},J^{c}}} は、行番号、列番号がそれぞれ Ic, Jc から取られる、A の小行列を表すとする。adjr A の (I, J) 成分は次の式で定義される： ( − 1 ) σ ( I ) + σ ( J ) det A J c , I c {\displaystyle (-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det A_{J^{c},I^{c}}} ここで σ(I), σ(J) はそれぞれ I, J の元の総和を表すとする。 高階余因子行列の基本的な性質として以下がある： adj0(A) = det A adj1(A) = adj A adjn(A) = 1 adjr(BA) = adjr(A) adjr(B) adj r ( A ) C r ( A ) = C r ( A ) adj r ( A ) = ( det A ) I ( n r ) {\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(A)=C_{r}(A)\operatorname {adj} _{r}(A)=(\det A)I_{\binom {n}{r}}} （Cr(A) は r次複合行列を表す） 高階余因子行列は通常の余因子行列と同様に、抽象代数学の言葉を用いても定義できる。 V {\displaystyle V} , ∧ n − 1 V {\displaystyle \wedge ^{n-1}V} をそれぞれ ∧ r V {\displaystyle \wedge ^{r}V} , ∧ n − r V {\displaystyle \wedge ^{n-r}V} に置き換えることでできる。
※この「高階余因子行列」の解説は、「余因子行列」の解説の一部です。
「高階余因子行列」を含む「余因子行列」の記事については、「余因子行列」の概要を参照ください。
- 高階余因子行列のページへのリンク
