対稱テンソル

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対称テンソル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/18 06:39 UTC 版)

数学における対称テンソル（たいしょうテンソル、英: symmetric tensor）は、その次数 r に関して、任意の r-次置換の作用に関して不変なテンソルを言う。

より具体的には、テンソルを多重線型写像 T と見るならば、その引数となるベクトルの任意の置換 σ について

$T(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})$カテゴリ

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対称テンソル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/07 02:21 UTC 版)

「パーマネント (数学)」の記事における「対称テンソル」の解説

パーマネントはヒルベルト空間上の対称テンソル冪の研究において自然に生じてくる。具体的に、H をヒルベルト空間とし、その対称テンソル全体の成す空間である対称テンソル冪を ⋁ k H {\textstyle \bigvee ^{k}H} と書くと、特に ⋁ k H {\textstyle \bigvee ^{k}H} は H の元からなる対称（テンソル）積によって生成されることに注意する。x1, x2, …, xk ∈ H の対称積は x 1 ∨ x 2 ∨ ⋯ ∨ x k := ( k ! ) − 1 / 2 ∑ σ ∈ S k x σ ( 1 ) ⊗ x σ ( 2 ) ⊗ ⋯ ⊗ x σ ( k ) と定義される。 ⋁ k H {\textstyle \bigvee ^{k}H} を（H の k-次テンソル冪（英語版） ⨂ k H {\textstyle \bigotimes ^{k}H} の部分空間として）考えるとき、その上に内積 ⟨,⟩ が定義されれば、それに応じて ⟨ x 1 ∨ x 2 ∨ ⋯ ∨ x k , y 1 ∨ y 2 ∨ ⋯ ∨ y k ⟩ = perm ⁡ ( ( ⟨ x i , y j ⟩ ) 1 ≤ i , j ≤ k ) ( x j , y j ∈ H ) となることが分かる。コーシー–シュヴァルツの不等式を適用すれば、 perm ⁡ ( ( ⟨ x i , x j ⟩ ) 1 ≤ i , j ≤ k ) ≥ 0 {\textstyle \operatorname {perm} ((\langle x_{i},x_{j}\rangle )_{1\leq i,j\leq k})\geq 0} および | perm ⁡ ( ( ⟨ x i , y j ⟩ ) 1 ≤ i , j ≤ k ) | 2 ≤ perm ⁡ ( ( ⟨ x i , x j ⟩ ) 1 ≤ i , j ≤ k ) ⋅ perm ⁡ ( ( ⟨ y i , y j ⟩ ) 1 ≤ i , j ≤ k ) が確かめられる。