大きな直線束
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/28 14:09 UTC 版)
詳細は「 飯高次元」を参照 双有理幾何学において重要な一般化には、大きな直線束であるということがある。X 上の直線束 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} が大きいとは、次の同値な条件のうちのひとつを満たすときを言う。 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は豊富な直線束と有効な直線束のテンソル積 有限生成な次数付き環 ⨁ k = 0 ∞ Γ ( X , L ⊗ k ) {\displaystyle \bigoplus _{k=0}^{\infty }\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes k})} のヒルベルト多項式は、X の次元の次数を持っている。 因子の全体の系(英語版) X → P Γ ( X , L ⊗ k ) {\displaystyle X\to \mathbb {P} \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes k})} の有理写像は、大きな k ≫ 0 {\displaystyle k\gg 0} に対し、その像に双有理同値である。この考え方の面白いところは、有理変換に関して安定性を持っていることである。
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大きな直線束
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/19 08:25 UTC 版)
直線束が大きいとは、飯高次元が最大であることを言う。すなわち、飯高次元が基礎多様体の次元に等しいことを言う。大きいという性質は、双有理不変量である。f: Y → X が多様体の双有理写像であり、L が X 上の大きな直線束であれば、f*L は Y 上の大きな直線束である。 すべての豊富な直線束は、大きな直線束である。 大きな直線束は、X の双有理同型射とその像を決定するとは限らない。例えば、C を超楕円曲線(例えば種数 2 の曲線)とすると、その標準束は大きいが、それが決定する有理写像は双有理同型でない。そのかわり、それは C の標準曲線(これは有理正規曲線(英語版)である)の 2 : 1 の被覆である。
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