場の理論におけるネーターの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 05:35 UTC 版)
「ネーターの定理」の記事における「場の理論におけるネーターの定理」の解説
場の量を扱う場の解析力学や場の量子論においても、対称性は基本的な概念であり、ネーターの定理がしばしば応用される。ネーターの定理によって導かれる保存則に登場するネーターカレントや、ネーターチャージは特に重要な概念になっている。 力学変数として場 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} を考え、作用積分を S [ ϕ ] = ∫ Ω d 4 x L ( ϕ , ∂ ϕ , x ) {\displaystyle S[\phi ]=\int _{\Omega }d^{4}x\,{\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,x)} とする。 系が座標と場との微小変換 x μ → x ′ μ = x μ + δ x μ {\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }} ϕ i ( x ) → ϕ i ′ ( x ′ ) = ϕ i ( x ) + δ ϕ i ( x ) {\displaystyle \phi _{i}(x)\to \phi '_{i}(x')=\phi _{i}(x)+\delta \phi _{i}(x)} に対して対称性をもち、この変換の下で作用が不変であるとする。 このとき、ネーターカレント j μ ≡ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ i ) ∂ ν ϕ i − δ ν μ L ) δ x ν − ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ i ) δ ϕ i {\displaystyle j^{\mu }\equiv {\biggl (}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial _{\nu }\phi _{i}-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}{\biggr )}\delta x^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\delta \phi _{i}} が保存し、連続の方程式 ∂ μ j μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0} を満たす。 δ ϕ {\displaystyle \delta \phi } には場自身の変換だけでなく、座標の変換も含んでいる。現代的な見方では、場の変分として、同一座標値での差を取ったリー微分 δ ϵ ϕ ( x ) {\displaystyle \delta _{\epsilon }\phi (x)} で記述すると都合がよい。 δ ϵ ϕ i ( x ) ≡ ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) = δ ϕ i ( x ) − δ x μ ∂ μ ϕ i {\displaystyle \delta _{\epsilon }\phi _{i}(x)\equiv \phi '(x)-\phi (x)=\delta \phi _{i}(x)-\delta x^{\mu }\partial _{\mu }\phi _{i}} このとき、ネーターカレントは j μ = − ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ i ) δ ϵ ϕ i − L δ x μ {\displaystyle j^{\mu }=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\delta _{\epsilon }\phi _{i}-{\mathcal {L}}\delta x^{\mu }} となる。 特に微小変換が次のようなパラメータの線型結合 δ x μ = ϵ a X a μ ( x ) {\displaystyle \delta x^{\mu }=\epsilon ^{a}X^{a\mu }(x)} δ ϵ ϕ i ( x ) = ϵ a δ a ϕ i ( x ) {\displaystyle \delta _{\epsilon }\phi _{i}(x)=\epsilon ^{a}\delta ^{a}\phi _{i}(x)} で書かれている場合には、ネーターカレントはパラメータの成分毎に j a μ ≡ − ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ i ) δ a ϕ i − L X a μ {\displaystyle j^{a\mu }\equiv -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\delta ^{a}\phi _{i}-{\mathcal {L}}X^{a\mu }} と書くことができて、それぞれに連続の方程式 ∂ μ j a μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }j^{a\mu }=0} を満たす。 ネーターカレントの時間成分を空間積分した Q a ≡ ∫ d 3 x j 0 a {\displaystyle Q^{a}\equiv \int d^{3}\mathbf {x} \,j^{0a}} はネーターチャージと呼ばれる。これは微小変換の生成子(無限小生成作用素) [ i Q a , ϕ i ( x ) ] = δ a ϕ i ( x ) {\displaystyle [iQ^{a},\phi _{i}(x)]=\delta ^{a}\phi _{i}(x)} となる。
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