周波数応答
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 17:21 UTC 版)
フィードフォワード型で α {\displaystyle \alpha } を様々な正の値にしたときの応答特性（振幅のみ） フィードフォワード型で α {\displaystyle \alpha } を様々な負の値にしたときの応答特性（振幅のみ） Z領域で表される離散時間系の周波数応答を得るには、 z = e j ω {\displaystyle z=e^{j\omega }} と置き換える。すると、フィードフォワード型コムフィルタの伝達関数は次のようになる。 H ( e j ω ) = 1 + α e − j ω K {\displaystyle \ H(e^{j\omega })=1+\alpha e^{-j\omega K}\,} オイラーの公式を使うと、周波数応答は次のように表すこともできる。 H ( e j ω ) = [ 1 + α cos ( ω K ) ] − j α sin ( ω K ) {\displaystyle \ H(e^{j\omega })=\left[1+\alpha \cos(\omega K)\right]-j\alpha \sin(\omega K)\,} 位相を無視して振幅の周波数特性だけを必要とすることが多い。それは次のように定義できる。 | H ( e j ω ) | = ℜ { H ( e j ω ) } 2 + ℑ { H ( e j ω ) } 2 {\displaystyle \ |H(e^{j\omega })|={\sqrt {\Re \{H(e^{j\omega })\}^{2}+\Im \{H(e^{j\omega })\}^{2}}}\,} フィードフォワード型コムフィルタでは、これが次のようになる。 | H ( e j ω ) | = ( 1 + α 2 ) + 2 α cos ( ω K ) {\displaystyle \ |H(e^{j\omega })|={\sqrt {(1+\alpha ^{2})+2\alpha \cos(\omega K)}}\,} ( 1 + α 2 ) {\displaystyle (1+\alpha ^{2})} という項は定数であり、残る 2 α cos ( ω K ) {\displaystyle 2\alpha \cos(\omega K)} は周期関数である。したがって、コムフィルタの周波数特性は周期的である。 右の2つの図は様々な α {\displaystyle \alpha } の値について、周波数特性の周期性を表したものである。次のような特性が重要である。 応答は周期的に局所最小値に落ち込み（「ノッチ」などと呼ぶ）、周期的に局所最大値になる（これを「ピーク」などと呼ぶ）。 最大と最小は常に 1 から等しい距離にある。 α = ± 1 {\displaystyle \alpha =\pm 1} のとき、最小の振幅がゼロになる。この場合の局所最小値を「ヌル」などと呼ぶ。 α {\displaystyle \alpha } が正のときの最大と α {\displaystyle \alpha } が負のときの最小は同じ周波数であり、逆も同様である。
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周波数応答
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フィードバック型で α {\displaystyle \alpha } を様々な正の値にしたときの応答特性（振幅のみ） フィードバック型で α {\displaystyle \alpha } を様々な負の値にしたときの応答特性（振幅のみ） フィードバック型コムフィルタのZ領域表現で z = e j ω {\displaystyle z=e^{j\omega }} と置き換えると、次の式が得られる。 H ( e j ω ) = 1 1 − α e − j ω K {\displaystyle \ H(e^{j\omega })={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega K}}}\,} 振幅の周波数特性は次のようになる。 | H ( e j ω ) | = 1 ( 1 + α 2 ) − 2 α cos ( ω K ) {\displaystyle \ |H(e^{j\omega })|={\frac {1}{\sqrt {(1+\alpha ^{2})-2\alpha \cos(\omega K)}}}\,} こちらも周期的な特性となっていることを右の2つの図で示す。フィードバック型コムフィルタはフィードフォワード型と次のような点が共通である。 応答は周期的に局所最小値と局所最大値を繰り返す。 α {\displaystyle \alpha } が正のときの最大と α {\displaystyle \alpha } が負のときの最小は同じ周波数であり、逆も同様である。 しかし、上の式で全ての項が分母にあることから、重要な差異もある。 最大値と最小値は 1 から等しい距離にあるわけではない。 | α | {\displaystyle |\alpha |} が 1 未満のときだけ安定である。図を見て分かるとおり | α | {\displaystyle |\alpha |} が大きくなると、最大値の振幅が急激に増大する。
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