同時に全ての n 次元時空を考える
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/16 10:15 UTC 版)
「位相的場の理論」の記事における「同時に全ての n 次元時空を考える」の解説
全ての時空を同時に考える、 h B o r d M {\displaystyle hBord_{M}} をより大きなカテゴリで置き換える必要がある。 B o r d n {\displaystyle Bord_{n}} をボルディズムのカテゴリとする。すなわち、射が境界を持った n-次元多様体であり、対象(object)が n 次元多様体の境界の連結成分であるようなカテゴリとする。(任意の ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -次元多様体が B o r d n {\displaystyle Bord_{n}} 対象(object)として現れるかもしれない) 上のように、2つの射が B o r d n {\displaystyle Bord_{n}} の中で同値とは、それらがホモトピックであり、商カテゴリ h B o r d n {\displaystyle hBord_{n}} を形成する場合をいう。 B o r d n {\displaystyle Bord_{n}} はそれらの直和から作られるボルディズムへ2つのボルディズムを持っていく操作の下にモノイダル函手（英語版）である。すると n-次元多様体上の位相的場の理論は、 h B o r d n {\displaystyle hBord_{n}} からベクトル空間のカテゴリへの函手である。そのときは、ベクトル空間のテンソル積をボルディズムの直和とすることで構成される。 例えば、(1+1) 次元ボルディズム (1次元多様体の間の2次元ボルディズム)に対して、パンツのペア（英語版）に結び付く写像は、積もしくは余積をもたらし、境界の成分がどのようにグループ化されるかとは独立である – 可換もしくは余可換である。一方、ディスクに結び付いた写像は、コユニット (トレース) もしくはユニット (スカラー)をもたらし、境界のグループ化とは独立であるので、(1+1) 次元の位相的場の理論は、フロベニウス代数に対応する。 さらに最近、上記のボルディズムで関係づけられた4次元、3次元、2次元の多様体を同時に考えることで、豊富で重要な例が得られている。
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