合同記号

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合同記号

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 10:08 UTC 版)

≡

合同記号（ごうどうきごう）は、元来、合同式の合同（モジュロ）を表すための記号であり、「≡」(コングルエント)が使われる。

記号「≡」は、それ以外に、以下の意味:

• （幾何学的な）合同
• 恒等式
• 定義
• 同値

でも使われる。これらは、記号「≡」を使う以外の記法もあるので、必要に応じ、それらの記法についても述べる。

文字名称は、UnicodeとJIS X 0213では「identical to」（～に恒等である）、日本語では「常に等しい/合同」とも呼ばれる。

各々の意味

合同式

≡

整数論にて、合同記号の左右の整数の値を括弧内のmodで示した値で割った余りが等しいことを示す「合同式」に用いられる。

歴史

カール・フリードリヒ・ガウスは、1801年に『Disquisitiones Arithmeticae』で数の合同の記号として使用した。当時の形は

$a\equiv b\quad ({\text{mod.}}\ m)$

$a\equiv b\quad ({\text{modo}}\ m)$

だった。

使用例

$a\equiv b\mod m$

$a\equiv b{\pmod {m}}$

$a\equiv b\ {\bmod {\ }}m$

$a\equiv b\ (m)$

などはいずれも、「a と b は m を法として合同である」すなわち「a と b の各々を m で割った余りが等しい」ことを意味する。ここで、「合同記号」とは「≡」のみのことであり、「mod」は含めない。

法が文脈から明らかだったり、法によらず合同式が成立する場合は、

$a\equiv b$

と法を省略できる。

幾何学的な合同

≡ ≅ ≌ ≃

歴史

ゴットフリート・ライプニッツは、1710年にベルリン大学のジャーナル誌であるベルリン論集(Miscellanea Berolinensia)に発表したMonitumで、「≃」（1本線の上にチルダ）を図形の合同を表す目的として使用した。

ヨハン・フリードリッヒ・ハセラーは、1777年にAnfangsgründe der Arith., Alg., Geom. und Trigで「≌」（等号の上に逆チルダ）を使用した。

1824年にカール・モルワイデが、逆チルダをチルダに変更した「≅」（等号の上にチルダ）を使用するようになった。

現在の用法

現在、多くの国で、モルワイデの「≅」（等号の上にチルダ）を使う。

例外的に、日本・韓国では、もっぱら「≡」（3本線）を使う。合同記号として「≡」を用いたのはボーヤイ・ヤーノシュである。

ハセラーの「≌」（等号の上に逆チルダ）を使うこともある。

2次元図形に対して使う機会が多いが、3次元以上の場合にも同じ記号が用いられる（1次元以下にも理論上定義できるが使う意義はほとんどない）。

使用例

$\triangle \mathrm {ABC} \equiv \triangle \mathrm {DEF}$

$\triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF}$

はいずれも、「三角形ABCと三角形DEFが合同である」ことを意味する。なお、これを

$\triangle \mathrm {ABC} =\triangle \mathrm {DEF}$

と書くと、「三角形ABCと三角形DEFは面積が等しい」という意味になる。

恒等式

≡

左辺と右辺が常に等しい「恒等式」を表す。ベルンハルト・リーマンが1899年に『楕円関数論』で使用した。

たとえば:

$ab\equiv ba$

は「常に ab = ba である」ことを表す。

定義する

≡ ≔ ≜ ≝

左辺を右辺の式で定義するときに使う。これには、「≔」（等号の左にコロン）、「≜」（等号の上に三角形）、「≝」（等号の上に「def」）も使われる。

たとえば:

$f(x)\equiv x^{2}$

$f(x):=x^{2}$

$f(x)\triangleq x^{2}$

$f(x){\overset {\underset {def}{}}{=}}x^{2}$

$f(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}x^{2}$

はいずれも、「f(x) を x² と定義する」あるいは「定義により f(x) = x² である」ことを意味する。

同値

≡ = ⇔ ⟺ ↔ ⇌

左辺と右辺の命題もしくは論理式が同値であることを表す。E・H・ムーアや、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルが、1910年に使用した。

他に、「=」（等号）、「⇔」（二重左右矢印）、「⟺」（長い二重左右矢印）、「↔」（一重左右矢印）、「⇌」（右向きと左向きの半分の矢印を上下に重ねたもの）も使う。

たとえば:

$P\equiv Q$

$P=Q$

$P\Leftrightarrow Q$

$P\Longleftrightarrow Q$

$P\leftrightarrow Q$

$P\rightleftharpoons Q$

はいずれも、「P と Q が同値である」ことを意味する。

合同否定

≢

「≢」は、UnicodeとJIS X 0213では「not identical to」（恒等でない）、日本語では「合同否定」とも呼ばれる。

「A ≢ B」は、「A ≡ B でない」ことを意味する。たとえば:

$a\not \equiv b\mod m$

は、「a と b は m を法として合同でない」すなわち「a と b の各々を m で割った余りが異なる」ことを意味する。

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
≡	U+2261	1-2-65	≡ ≡	常に等しい、合同 identical to
≃	U+2243	1-2-76	≃ ≃	漸進的に等しい、ホモトープ asymptotically equal to
≅	U+2245	1-2-77	≅ ≅	同形 approximately equal to
≌	U+224C		≌ ≌	すべて等しい all equal to
≢	U+2262	1-2-75	≢ ≢	合同否定 not identical to

※欧米では、相似関係を表すのに「∽」ではなく「～」が一般的に使用されているため、≌は≅と表すこともある。　

関連項目

• 数学記号の表