古典論による導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/27 16:08 UTC 版)
ラーモアの定理による角周波数（ラーモア周波数）は以下である。 ω L = e B 2 m {\displaystyle \omega _{\mathrm {L} }={\frac {eB}{2m}}} ここで e {\displaystyle e} は電子のもつ電荷、 B {\displaystyle B} は磁場、 m {\displaystyle m} は電子の質量である。 電子 Z {\displaystyle Z} 個がラーモア運動をすると、以下の円電流が流れているとみなせる。 I = − Z e ω L 2 π = − Z e 2 B 4 π m {\displaystyle I=-Ze{\frac {\omega _{\mathrm {L} }}{2\pi }}=-{\frac {Ze^{2}B}{4\pi m}}} よって球対象な電荷分布の原子を考えると、原子番号 Z {\displaystyle Z} の原子（＝電子 Z {\displaystyle Z} 個）が生み出す磁気モーメントは以下となる。 μ = I S = − Z e 2 B 4 π m π ⟨ ρ 2 ⟩ {\displaystyle \mu =IS=-{\frac {Ze^{2}B}{4\pi m}}\pi \langle \rho ^{2}\rangle } ここで ⟨ ρ 2 ⟩ = ⟨ x 2 ⟩ + ⟨ y 2 ⟩ {\displaystyle \langle \rho ^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle +\langle y^{2}\rangle } は B {\displaystyle B} に平行な原子核を貫く軸からの電子の円運動の平均二乗半径である。 以上より、全磁化は M = − N Z e 2 B 4 m ⟨ ρ 2 ⟩ {\displaystyle M=-{\frac {NZe^{2}B}{4m}}\langle \rho ^{2}\rangle } となり、磁化率が求まる。 χ = M H = − μ 0 N Z e 2 4 m ⟨ ρ 2 ⟩ {\displaystyle \chi ={M \over H}=-{\frac {\mu _{0}NZe^{2}}{4m}}\langle \rho ^{2}\rangle } ここで N {\displaystyle N} は原子数である。 電子の軌道半径の2乗平均 ⟨ r 2 ⟩ = ⟨ x 2 ⟩ + ⟨ y 2 ⟩ + ⟨ z 2 ⟩ = 3 2 ⟨ ρ 2 ⟩ {\displaystyle \langle r^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle +\langle y^{2}\rangle +\langle z^{2}\rangle ={3 \over 2}\langle \rho ^{2}\rangle } を用いて表すと以下となる。 χ = − μ 0 N Z e 2 6 m ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle \chi =-{\frac {\mu _{0}NZe^{2}}{6m}}\langle r^{2}\rangle }
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