双子素数

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双子素数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/02 15:48 UTC 版)

数学の未解決問題

双子素数は無数に存在するか。

双子素数（ふたごそすう、英: twin prime）とは、差が 2 である二つの素数の組を構成する各素数のことである。双子素数の組は、(2, 3) を除いた、最も近い素数の組である。双子素数を小さい順に並べた列は、次の通りである。

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), …

各組の2素数の平均値（中間の偶数）は、次の通りである。3連続した数 (a, a+1, a+2) は2と3双方の倍数を含むことから、3の倍数で唯一素数である 3 を含む (3, 5) の組である 4 以外は全て 6 (=2x3) の倍数となる。

4, 6, 12, 18, 30, 42, 60, 72, 102, 108, 138, …

双子素数の予想

数学上の未解決問題

双子素数は無限に存在するか。

素数が無数に存在することは古代ギリシアで既に知られており、ユークリッドの『原論』に証明がある。これに対し、双子素数が無数に存在するかという問題、いわゆる「双子素数の予想」は、いまだに数学上の未解決問題である。

双子素数予想が古代ギリシア時代から知られていたとの記述も一部文献に見られるが、確証は得られていない。(A. de Polignac(1849)) は、双子素数予想を一般化して、任意の偶数を差とする素数の組が無数にあるか、という問題を提出している。

上からの評価式など部分的な結果があるが、その中でも漸近公式の予想は注目に値する。双子素数の組の数の漸近公式はハーディ・リトルウッド予想の一部であり、これは素数定理と似通った次のような双子素数の漸近的な分布公式を予想している。

x 以下の双子素数の組の数は、漸近的に

$2C{\frac {x}{(\log x)^{2}}}$