加重平均
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 03:37 UTC 版)
データの値それぞれに不均等な重みがある場合は、単に相加平均をとるのでなく重みを考慮した平均をとるべきである。各値 xi に、重み wi がついているときの加重平均（重み付き平均）は w 1 x 1 + ⋯ + w n x n w 1 + ⋯ + w n {\displaystyle {\cfrac {w_{1}x_{1}+\dots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+\dots +w_{n}}}} と定義される。特に全ての重みが等しければ、これは通常の相加平均である。 例えば、重み付き最小二乗法では、誤差の小さなデータに大きな重みを与えた残差の加重平均を最小化することで、尤度の最大化を図る。重点サンプリング（英語版）によって期待値をモンテカルロ推定するときは、求めたい期待値に関する確率密度とサンプルの確率密度の比を重みとした加重平均を推定量とする。 相乗平均についての重み付き平均は ( x 1 w 1 ⋯ x n w n ) 1 / p {\displaystyle \left({x_{1}}^{w_{1}}\dotsb {x_{n}}^{w_{n}}\right)^{1/p}} と定義される。ただし p = ∑ i = 1 n w i {\displaystyle p=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}} とする。
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加重平均
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加重平均も同様にベクトルに拡張でき、 w 1 x 1 + ⋯ + w n x n w 1 + ⋯ + w n {\displaystyle {\frac {w_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +w_{n}{\boldsymbol {x}}_{n}}{w_{1}+\dots +w_{n}}}} と定義される。 m乗平均・一般化平均はスカラー ‖ x 1 ‖ m + ⋯ + ‖ x n ‖ m n , ‖ x 1 ‖ m + ⋯ + ‖ x n ‖ m n m {\displaystyle {\frac {\|{\boldsymbol {x}}_{1}\|^{m}+\dots +\|{\boldsymbol {x}}_{n}\|^{m}}{n}},\quad {\sqrt[{m}]{\frac {\|{\boldsymbol {x}}_{1}\|^{m}+\dots +\|{\boldsymbol {x}}_{n}\|^{m}}{n}}}} として定義される。ただしここで ‖ ・ ‖ は、ベクトルのノルムである。m = 2 の場合、‖ x ‖2 は内積 ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle } に一致するので、m = 2 の場合の m乗平均や一般化平均が特に重要である。たとえば物理学では速さの平均値（根二乗平均速度）として、m = 2 の場合の一般化平均を使うことがある。 ベクトルの加重平均の概念には、物理的な解釈を与えることができる。質点 P1, …, Pn がそれぞれ位置 x1, …, xn にあり、それぞれの質量が m1, …, mn であるとき、加重平均 m 1 x 1 + ⋯ + m n x n m 1 + ⋯ + m n {\displaystyle {\cfrac {m_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +m_{n}{\boldsymbol {x}}_{n}}{m_{1}+\dots +m_{n}}}} は系の重心である。
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