円上の実ハーディ空間との関連
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 15:23 UTC 版)
「ハーディ空間」の記事における「円上の実ハーディ空間との関連」の解説
1 ≤ p < ∞ のとき、後述の実ハーディ空間 Hp は現在の文脈で容易に表現することが出来る。単位円上の実函数 f は、それが Hp(T) 内のある函数の実部であるなら、実ハーディ空間 Hp(T) に属する。また複素函数 f が実ハーディ空間に属するための必要十分条件は、Re(f) および Im(f) がその空間に属することである（後述の実ハーディ空間に関する節を参照されたい）。 p < 1 に対し、フーリエ係数やポアソン積分、共役函数のような道具はもはや有効ではない。例えば、 F ( z ) = 1 + z 1 − z , | z | < 1 {\displaystyle F(z)={\frac {1+z}{1-z}},\quad |z|<1} と f ( e i θ ) := F ~ ( e i θ ) = i cot ( θ 2 ) {\displaystyle f(e^{i\theta }):={\tilde {F}}(e^{i\theta })=i\,\cot({\tfrac {\theta }{2}})} を考える。函数 F は全ての p < 1 に対して Hp に含まれ、半径に関する極限 f は Hp(T) 内にあるが Re(f) はほとんど至る所で 0 とする。Re(f) から F を得ることはもはや出来なく、上述のような簡単な方法で実 Hp(T) を定義することは出来ない。 同じ函数 F に対し、fr(eiθ) = F(reiθ) とする。r → 1 としたときの Re(fr) の超函数の意味での円上の極限は、z = 1 でのデルタ超函数の非ゼロの倍数に等しい。単位円上の任意の点でのデルタ超函数は、全ての p < 1 に対して実 Hp(T) に属する（後述の議論を参照）。
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