共役函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 15:23 UTC 版)
単位円上のすべての実三角多項式 u に対し、u + iv が単位円板内の正則函数となるように拡張できる実共役多項式 v を次のように定義できる。 u ( e i θ ) = a 0 2 + ∑ k ≥ 1 a k cos ( k θ ) + b k sin ( k θ ) ⟶ v ( e i θ ) = ∑ k ≥ 1 a k sin ( k θ ) − b k cos ( k θ ) . {\displaystyle u(e^{i\theta })={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k\geq 1}a_{k}\cos(k\theta )+b_{k}\sin(k\theta )\longrightarrow v(e^{i\theta })=\sum _{k\geq 1}a_{k}\sin(k\theta )-b_{k}\cos(k\theta ).} この写像 u → v は、1 < p < ∞ のときには Lp(T) 上の有界線型作用素 H へと拡張される（スカラー倍を除き、それは単位円上のヒルベルト変換である）。また H は L1(T) を弱-L1(T) にも写す。1 ≤ p < ∞ のとき、単位円上の実数値可積分函数 f に対して、以下は同値である。 函数 f はある函数 g ∈ Hp(T) の実部； 函数 f とその共役 H(f) は Lp(T) に属する； 半径極大函数 M f は Lp(T) に属する。 1 < p < ∞ のとき、f ∈ Lp(T) であるなら H(f) は Lp(T) に属し、したがって実ハーディ空間 Hp(T) はこの場合 Lp(T) と一致する。p = 1 に対し、実ハーディ空間 H1(T) は L1(T) の真部分空間となる。 L∞ 函数の極大函数 M f は常に有界であり、実 H∞ が L∞ と等しくなることは望まれていないため、p = ∞ の場合は実ハーディ空間の定義から除外することが出来る。しかし、実数値函数 f に対して次の二つの性質は同値となる。 函数 f がある函数 g ∈ H∞(T) の実部； 函数 f とその共役 H(f) が L∞(T) に属する。
※この「共役函数」の解説は、「ハーディ空間」の解説の一部です。
「共役函数」を含む「ハーディ空間」の記事については、「ハーディ空間」の概要を参照ください。
- 共役函数のページへのリンク
