共役ベクトル空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「共役ベクトル空間」の解説
ヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で使われている足し算「＋」、（スカラーとの）掛け算「・」、および内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } を明示して、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を ( H , + , ⋅ , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\cdot ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} と書くことにする。 定義 (共役ベクトル空間) ― ヒルベルト空間 ( H , + , ⋅ , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\cdot ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} の元 ψ ∈ H {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} と定数a∈C、に対し、 a × ψ := a ¯ ψ {\displaystyle a\times \psi :={\bar {a}}\psi } と定義すると、 ( H , + , × , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\times ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} もヒルベルト空間になる。ここで a ¯ {\displaystyle {\bar {a}}} はaの複素共役である。 ( H , + , × , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\times ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} を ( H , + , ⋅ , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\cdot ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} の共役ベクトル空間（英語版）という。 定義より、共役ベクトル空間は掛け算以外は元の空間と同一である。以下、掛け算を明示しなくても共役ベクトル空間を区別できるようにするため、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の共役ベクトル空間を H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} と表記する。また ψ {\displaystyle \psi } が H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} の元である事が文脈から明らかな場合は、 a × ψ {\displaystyle a\times \psi } を略記して単に a ψ {\displaystyle a\psi } と表記する。
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