共形再スケーリング下での振舞い
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 05:20 UTC 版)
「リッチテンソル」の記事における「共形再スケーリング下での振舞い」の解説
計量 g を共形因子 e2f 倍に変更するとき、新しい計量 ~g = e2fg のリッチテンソルは (Besse 1987, p. 59) によれば Ric ~ = Ric + ( 2 − n ) [ ∇ d f − d f ⊗ d f ] + [ Δ f − ( n − 2 ) ‖ d f ‖ 2 ] g {\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric} }}=\operatorname {Ric} +(2-n)[\nabla \mathrm {d} f-\mathrm {d} f\otimes \mathrm {d} f]+[\Delta f-(n-2)\|\mathrm {d} f\|^{2}]g} で与えられる。ここで、Δ = d∗d は（正値スペクトル）ホッジラプラシアン、つまり通常のヘッシアンのトレースの「反対」である。 特に、リーマン多様体上のある点 p で、任意の計量に対してそれと共形でありながらリッチテンソルが点 p において零となるような計量を必ず見付けることができる。ただし、これは点についての言及であることに注意されたい。多様体全体のリッチ曲率を共形再スケーリングにより零にすることは一般には不可能である。 二次元多様体の場合は、上の公式は f が調和関数であるならば共形スケーリング g ↦ e2fg はリッチ曲率を変化させないことを示している。
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