共形スケーリング
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/10/22 02:16 UTC 版)
「コットンテンソル」の記事における「共形スケーリング」の解説
あるスカラー函数 ω {\displaystyle \omega } が存在して、計量 g ~ = e 2 ω g {\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\omega }g} の共形スケーリングの下では、クリストッフェル記号は次のように変換する。 Γ ~ β γ α = Γ β γ α + S β γ α {\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+S_{\beta \gamma }^{\alpha }} ここに S β γ α {\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }} は S β γ α = δ γ α ∂ β ω + δ β α ∂ γ ω − g β γ ∂ α ω {\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\partial _{\beta }\omega +\delta _{\beta }^{\alpha }\partial _{\gamma }\omega -g_{\beta \gamma }\partial ^{\alpha }\omega } R ~ λ μ α β = R λ μ α β + ∇ α S β μ λ − ∇ β S α μ λ + S α ρ λ S β μ ρ − S β ρ λ S α μ ρ {\displaystyle {{\widetilde {R}}^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }} n {\displaystyle n} -次元多様体では、リッチテンソルは縮約したRiemannテンソルで表すことで、次の式になることが分かる。 R ~ λ μ α β = R λ μ α β + ∇ α S β μ λ − ∇ β S α μ λ + S α ρ λ S β μ ρ − S β ρ λ S α μ ρ {\displaystyle {{\widetilde {R}}^{\lambda }}{}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }} R ~ = e − 2 ω R − 2 e − 2 ω ( n − 1 ) ∇ α ∂ α ω − ( n − 2 ) ( n − 1 ) e − 2 ω ∂ λ ω ∂ λ ω {\displaystyle {\widetilde {R}}=e^{-2\omega }R-2e^{-2\omega }(n-1)\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)(n-1)e^{-2\omega }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega } C ~ α β γ = C α β γ + ( n − 2 ) ∂ λ ω W β γ α λ {\displaystyle {\widetilde {C}}_{\alpha \beta \gamma }=C_{\alpha \beta \gamma }+(n-2)\partial _{\lambda }\omega {W_{\beta \gamma \alpha }}^{\lambda }} C ~ = C + grad ω ⌟ W , {\displaystyle {\tilde {C}}=C\;+\;\operatorname {grad} \,\omega \;\lrcorner \;W,} となる。右辺の勾配(gradient)の部分はワイルテンソル（英語版） W の対称性を保つ部分との内積を取ることを意味する。
※この「共形スケーリング」の解説は、「コットンテンソル」の解説の一部です。
「共形スケーリング」を含む「コットンテンソル」の記事については、「コットンテンソル」の概要を参照ください。
- 共形スケーリングのページへのリンク
