シュレーダーの方程式

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シュレーダーの方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/19 16:28 UTC 版)

数学におけるシュレーダーの方程式（シュレーダーのほうていしき、英: Schröder's equation）は、エルンスト・シュレーダーの名にちなむ、一つの独立変数を持つある函数方程式のことを言う。すなわち、与えられた函数 h(x) に対し、次を満たす函数 Ψ(x) を見つける問題を考える：

$\Psi (h(x))=s\Psi (x).$

s=4 のカオス的ロジスティック写像 h(x) の相空間軌道のはじめの五つの半周期を、シュレーダーの方程式によって光学的に補間したもの。h_t に対する速度 v=dh_t/dt がプロットされている。全時間をかけてすべての x を通る軌道においてカオス性は明らかである。

例えば^[11]、カオス的であるようなロジスティック写像の特別な場合 h(x) = 4x(1 − x) は、シュレーダーの原著論文^[1]においてすでに算出されていた（例えば p. 306 を参照）：

${\displaystyle \Psi (x)=\arcsin ^{2}({\sqrt {x}}),\,s=4.}$ したがって ${\displaystyle h_{t}(x)=\sin ^{2}(2^{t}\arcsin({\sqrt {x}})).}$

実際この解は、シュレーダーの方程式によって影響される連続的な反復の一般的な特徴である、スイッチバック・ポテンシャル V(x) ∝ x(x−1) (nπ+arcsin √x)² の列によって記述される運動として観測される^[12]。

カオス的でない場合、h(x) = 2x(1−x) によって

${\displaystyle \Psi (x)=-{\frac {1}{2}}\ln(1-2x),}$ したがって ${\displaystyle h_{t}(x)=-{\frac {1}{2}}\left((1-2x)^{2^{t}}-1\right)}$

であることもまた示されていた。

同様に、ベバートン＝ホルトモデル（英語版） h(x)=x/(2−x) に対し、Ψ(x) = x/(1−x) であり、したがって

${\displaystyle h_{t}(x)=\Psi ^{-1}(2^{-t}\,\Psi (x))={\frac {x}{2^{t}+x(1-2^{t})}}~.}$

であることがすでに知られている^[13]。

「有理差分方程式」も参照

参考文献

1. ^ ^{a b c} Schröder, Ernst (1870). “Ueber iterirte Functionen”. Math. Ann. 3 (2): 296–322. doi:10.1007/BF01443992. 
2. ^ Carleson, Lennart; Gamelin, Theodore W. (1993). Complex Dynamics. Textbook series: Universitext: Tracts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97942-5 
3. ^ Kuczma, Marek (1968). Functional equations in a single variable. Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN – Polish Scientific Publishers 
4. ^ Gell-Mann, M.; Low, F.E. (1954). “Quantum Electrodynamics at Small Distances”. Physical Review 95 (5): 1300–1312. Bibcode: 1954PhRv...95.1300G. doi:10.1103/PhysRev.95.1300. 
5. ^ ^{a b} Curtright, T.L.; Zachos, C.K. (March 2011). “Renormalization Group Functional Equations”. Physical Review D 83 (6): 065019. arXiv:1010.5174. Bibcode: 2011PhRvD..83f5019C. doi:10.1103/PhysRevD.83.065019. 
6. ^ Koenigs, G. (1884). “Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionelles”. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 1 (3, Supplément): 3–41. http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_1884_3_1__S3_0. 
7. ^ Erdős, P.; Jabotinsky, E. (1960). “On Analytic Iteration”. Journal d'Analyse Mathématique 8 (1): 361–376. doi:10.1007/BF02786856. 
8. ^ Böttcher, L. E. (1904). “The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis”. Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch. (Russian) 14: 155–234. 
9. ^ Szekeres, G. (1958). “Regular iteration of real and complex functions”. Acta Mathematica 100 (3–4): 361–376. doi:10.1007/BF02559539.  [1]
10. ^ Curtright, T.L.; Zachos, C.K. (2009). “Evolution Profiles and Functional Equations”. Journal of Physics A 42 (48): 485208. arXiv:0909.2424. Bibcode: 2009JPhA...42V5208C. doi:10.1088/1751-8113/42/48/485208. 
11. ^ Curtright, T.L. Evolution surfaces and Schröder functional methods.
12. ^ Curtright, T.L.; Zachos, C.K. (2010). “Chaotic Maps, Hamiltonian Flows, and Holographic Methods”. Journal of Physics A 43 (44): 445101. arXiv:1002.0104. Bibcode: 2010JPhA...43R5101C. doi:10.1088/1751-8113/43/44/445101. 
13. ^ Skellam, J.G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”, Biometrika 38 196−–218, eqns (41,42)