代数的整数環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/17 07:27 UTC 版)
代数的整数全体の集合は、環をなし、代数的整数環または、単に整数環と呼ばれる。代数的整数環 I {\displaystyle \mathbb {I} } に対して、以下が成り立つ。 I ∩ Q = Z {\displaystyle \mathbb {I} \cap \mathbb {Q} =\mathbb {Z} } (つまり、有理数である代数的整数は、有理整数である。 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } を有理整数環という。) 任意の代数的数 α に対して、代数的整数 β と、有理整数 d が存在して、α = β/d となる。dα が代数的整数となる最小の正整数のことを、α の分母 (denominator) といい、den α で表す。 0 ではない代数的整数のハウスは、1 以上である。ハウスが 1 である代数的整数は、1 のベキ根に限る。 また、 Q ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} と同様で、代数的整数を係数とするモニック多項式(最高次の係数が 1 である多項式)の根は、やはり代数的整数であるので、整数環は、整閉包である。
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