付加構造を備えたベクトル空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 00:46 UTC 版)
「ベクトル空間」の記事における「付加構造を備えたベクトル空間」の解説
線型代数学の観点からは、任意のベクトル空間が（同型を除いて）その次元によって特徴づけられるという意味で、ベクトル空間については完全に分かっている。しかしベクトル空間というものは「本質的に」、函数列が別の函数に収束するか否かという（解析学では重要な）問題について取り扱う枠組みを提供していないし、同様に加法演算が有限項の和のみを許す線型代数学では無限級数を扱うのには適当でない。従って、函数解析学ではベクトル空間に更なる構造を考える必要が求められる。ほとんど同様に、付加的な情報を持つベクトル空間が有効に働く部分を抽象的に見つけだすことで、公理的取扱いからベクトル空間の持つ代数学的に本質的な特徴を浮き彫りにすることができる[要出典]。 付加構造の一つの例は、順序関係 ≤ で、これによりベクトルの比較が行えるようになる。例えば、実 n-次元空間 Rn は、ベクトルを成分ごとに比較することで順序づけることができる。また、ルベーグ積分は函数を二つの正値函数の差 f = f + − f − {\displaystyle f=f^{+}-f^{-}} として（f+ は f の正部分で f− は負部分）表すことができることに依拠しているから、順序線型空間（例えばリース空間）はルベーグ積分において基本的である。
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