交換法則と結合法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/24 08:31 UTC 版)
順序対 (a, b) は、たとえ a, b (a ≠ b) がともに A にも B にも属していたとしても、一般には (a, b) ≠ (b, a) である。ゆえに、集合としても、A = B または少なくともいずれか一方が空集合でない限り A × B ≠ B × A {\displaystyle A\times B\neq B\times A} である。すなわち、直積は二項演算として可換でない。 また厳密に言えば、直積は結合的でもない。すなわち、A, B, C を集合とするとき、 ( A × B ) × C , A × ( B × C ) , A × B × C {\displaystyle (A\times B)\times C,\quad A\times (B\times C),\quad A\times B\times C} はすべて集合として異なる。しかし誤解の虞が無いならば、しばしばこれらの間の自然 (canonical) な全単射 ( ( a , b ) , c ) ← ↦ ( a , ( b , c ) ) ← ↦ ( a , b , c ) {\displaystyle ((a,b),c)\gets \!\mapsto (a,(b,c))\gets \!\mapsto (a,b,c)} によって全て同一視（成分の並びを変えずに括弧だけを外）される。この同一視のもとで、直積は結合的二項演算を定める。その意味で n-項直積 A1 × ⋯ × An は二つの集合の直積をとることの繰り返し A 1 × ⋯ × A n := ( A 1 × ⋯ × A n − 1 ) × A n {\displaystyle A_{1}\times \cdots \times A_{n}:=(A_{1}\times \cdots \times A_{n-1})\times A_{n}} と定義することは可能である。
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