二次元安定性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 06:54 UTC 版)
二次元信号（例えば画像）の場合では、二元多項式が必ず因数分解できるとは限らないため、フィルターのBIBO安定性の判定は困難である。 まず、系の伝達関数が H ( z 1 , z 2 ) = B ( z 1 , z 2 ) A ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle H(z_{1},z_{2})={\frac {B(z_{1},z_{2})}{A(z_{1},z_{2})}}} として表示されて、以下のように極を分類する： B ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle B(z_{1},z_{2})} の根と違う A ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle A(z_{1},z_{2})} の根は、第一類非真性特異点（Nonessential Singularities of the First Kind、NSFK）という； B ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle B(z_{1},z_{2})} の根と重なる A ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle A(z_{1},z_{2})} の根は、第二類非真性特異点（Nonessential Singularities of the Second Kind、NSSK）という。 NSSKはゼロと極を消去できなくで生まれる。例として、伝達関数は H ( z 1 , z 2 ) = ( 1 − z 1 − 1 ) ( 1 − z 2 − 1 ) 2 − z 1 − 1 − z 2 − 1 {\displaystyle H(z_{1},z_{2})={\frac {(1-z_{1}^{-1})(1-z_{2}^{-1})}{2-z_{1}^{-1}-z_{2}^{-1}}}} のようにする。そのゼロは { ( z 1 , z 2 ) : z 1 = 1 } ∪ { ( z 1 , z 2 ) : z 2 = 1 } {\displaystyle \{(z_{1},z_{2}):z_{1}=1\}\cup \{(z_{1},z_{2}):z_{2}=1\}} になり、極は { ( z 1 , z 2 ) : z 1 − 1 + z 2 − 1 = 2 } {\displaystyle \{(z_{1},z_{2}):z_{1}^{-1}+z_{2}^{-1}=2\}} になるので、 ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} はNSSKになる。NSSKの存在は複雑性の源。 便利のため、まだ以下の区域を定義する： S c = { ( z 1 , z 2 ) : | z 1 | ≥ 1 , | z 2 | ≥ 1 } {\displaystyle S_{c}=\{(z_{1},z_{2}):|z_{1}|\geq 1,|z_{2}|\geq 1\}\,\!} S o = { ( z 1 , z 2 ) : | z 1 | > 1 , | z 2 | > 1 } {\displaystyle S_{o}=\{(z_{1},z_{2}):|z_{1}|>1,|z_{2}|>1\}\,\!} T = { ( z 1 , z 2 ) : | z 1 | = 1 , | z 2 | = 1 } {\displaystyle T=\{(z_{1},z_{2}):|z_{1}|=1,|z_{2}|=1\}\,\!} ならば、以下の定理が成立する。 （Goodman）上記の伝達関数 H ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle H(z_{1},z_{2})} に対しては、 A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , ( z 1 , z 2 ) ∈ S c ⇒ {\displaystyle A(z_{1},z_{2})\neq 0,(z_{1},z_{2})\in S_{c}\Rightarrow } システムが安定 システムが安定 ⇒ A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , ( z 1 , z 2 ) ∈ S o {\displaystyle \Rightarrow A(z_{1},z_{2})\neq 0,(z_{1},z_{2})\in S_{o}} （Huang） T {\displaystyle T} にNSSKがない時、伝達関数 H ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle H(z_{1},z_{2})} は安定する必要十分条件は以下二組の条件を同時に満たすこと：組I： A ( z 1 , ∞ ) ≠ 0 , | z 1 | ≥ 1 {\displaystyle A(z_{1},\infty )\neq 0,|z_{1}|\geq 1} A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , | z 1 | = 1 and | z 2 | ≥ 1 {\displaystyle A(z_{1},z_{2})\neq 0,|z_{1}|=1{\mbox{ and }}|z_{2}|\geq 1} 組II： A ( ∞ , z 2 ) ≠ 0 , | z 2 | ≥ 1 {\displaystyle A(\infty ,z_{2})\neq 0,|z_{2}|\geq 1} A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , | z 2 | = 1 and | z 1 | ≥ 1 {\displaystyle A(z_{1},z_{2})\neq 0,|z_{2}|=1{\mbox{ and }}|z_{1}|\geq 1} （Strintzis） T {\displaystyle T} にNSSKがない時、因果的伝達関数 H ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle H(z_{1},z_{2})} は安定する必要十分条件は A ( z 1 , 1 ) ≠ 0 , | z 1 | ≥ 1 {\displaystyle A(z_{1},1)\neq 0,|z_{1}|\geq 1} しかも A ( 1 , z 2 ) ≠ 0 , | z 2 | ≥ 1 {\displaystyle A(1,z_{2})\neq 0,|z_{2}|\geq 1} しかも A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , ( z 1 , z 2 ) ∈ T {\displaystyle A(z_{1},z_{2})\neq 0,(z_{1},z_{2})\in T} （DeCarlo, Murray and Saeks） T {\displaystyle T} にNSSKがない時、因果的伝達関数 H ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle H(z_{1},z_{2})} は安定する必要十分条件は A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , | z 1 | ≥ 1 {\displaystyle A(z_{1},z_{2})\neq 0,|z_{1}|\geq 1} しかも A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , ( z 1 , z 2 ) ∈ T {\displaystyle A(z_{1},z_{2})\neq 0,(z_{1},z_{2})\in T}
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