二次元フーリエ変換についての補足
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/17 06:31 UTC 版)
「トモグラフィー」の記事における「二次元フーリエ変換についての補足」の解説
ラドン逆変換とは、実測された p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )} から、 μ ( x , y ) {\displaystyle \mu (x,y)} を復元する作業のことを指すが、これを説明するためには2変数関数のフーリエ変換について知っておく必要があるので、簡単に復習する。 まず、 μ ( x , y ) {\displaystyle \mu (x,y)} のフーリエ変換とは、 μ ^ ( u , v ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ μ ( x , y ) ⋅ e x p ( i ( u x + v y ) ) d x d y {\displaystyle {\hat {\mu }}(u,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (x,y)\cdot exp(i(ux+vy))dxdy} である。 μ ^ ( u , v ) {\displaystyle {\hat {\mu }}(u,v)} のことを、 F μ ( u , v ) {\displaystyle {\mathcal {F\mu }}(u,v)} と書く場合もある。ここで、" ⋅ {\displaystyle \cdot } "は、関数と関数の積（単なる掛け算）を意味する。 先の μ ^ ( u , v ) {\displaystyle {\hat {\mu }}(u,v)} と、 μ ( x , y ) {\displaystyle \mu (x,y)} に対し、以下の等式が成立する。これを、フーリエ逆変換と呼ぶ。 μ ( x , y ) = 1 4 π 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ μ ^ ( u , v ) ⋅ e x p ( i ( x u + y v ) ) d u d v {\displaystyle {\mu }(x,y)={\frac {1}{4{\pi }^{2}}}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat {\mu }}(u,v)\cdot exp(i(xu+yv))dudv} 即ち、関数をフーリエ変換した後、フーリエ逆変換すれば、元の関数に戻る。ここで、" ⋅ {\displaystyle \cdot } "は、関数と関数の積（単なる掛け算）を意味する。
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