ローレンツ変換の分類
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:22 UTC 版)
「ローレンツ変換」の記事における「ローレンツ変換の分類」の解説
ローレンツ変換全体のなす集合 L は、行列式と00成分 Λ00 によって分類される。ローレンツ変換 Λ において、その行列式 det(Λ) は ±1 の値をとる。一方、 00成分は Λ00 ≥1 または Λ00 ≤−1 を満たす。ローレンツ変換の全体 L の中で、行列式の値と00成分の符号が等しい2つのローレンツ変換は、連続的に移り変わることができる連結な成分となる。一方、これらが異なる2つのローレンツ変換は連続的に移り変わることができない非連結な成分となる。従って、L は行列式の値並びに00成分の符号によって、次の4つの連結な部分集合に分類される。 L + ↑ := { Λ ∈ L | det Λ = + 1 , Λ 0 0 ≥ + 1 } L − ↑ := { Λ ∈ L | det Λ = − 1 , Λ 0 0 ≥ + 1 } L − ↓ := { Λ ∈ L | det Λ = − 1 , Λ 0 0 ≤ − 1 } L + ↓ := { Λ ∈ L | det Λ = + 1 , Λ 0 0 ≤ − 1 } {\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}^{\uparrow }&:=\{\Lambda \in L|\det {\Lambda }=+1,\Lambda _{\,\,0}^{0}\geq +1\}\\L_{-}^{\uparrow }&:=\{\Lambda \in L|\det {\Lambda }=-1,\Lambda _{\,\,0}^{0}\geq +1\}\\L_{-}^{\downarrow }&:=\{\Lambda \in L|\det {\Lambda }=-1,\Lambda _{\,\,0}^{0}\leq -1\}\\L_{+}^{\downarrow }&:=\{\Lambda \in L|\det {\Lambda }=+1,\Lambda _{\,\,0}^{0}\leq -1\}\end{aligned}}} この分類において、Λ00 ≥1 を満たすものを順時間的（orthochrous）、Λ00 ≤−1 を満たすものを反順時間的（anti-orthochrous）、det(Λ )=1を満たすものを固有（proper）、det(Λ )=−1 を満たすものを非固有（improper）と呼ぶ。 ローレンツ変換の中で、特別なものとして、 ( I x ) μ = x μ ( μ = 0 , 1 , 2 , 3 ) ( P x ) 0 = x 0 ( P x ) i = − x i ( i = 1 , 2 , 3 ) ( T x ) 0 = − x 0 ( T x ) i = x i ( i = 1 , 2 , 3 ) ( P T x ) μ = ( P ∘ T x ) μ = − x μ ( μ = 0 , 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(Ix)^{\mu }&=x^{\mu }\quad (\mu =0,1,2,3)\\(Px)^{0}&=x^{0}\quad (Px)^{i}=-x^{i}\quad (i=1,2,3)\\(Tx)^{0}&=-x^{0}\quad (Tx)^{i}=x^{i}\quad (i=1,2,3)\\(PTx)^{\mu }&=(P\circ Tx)^{\mu }=-x^{\mu }\quad (\mu =0,1,2,3)\end{aligned}}} で定義される恒等変換 I、空間反転（パリティ変換） P、時間反転 T、空間時間反転 PT が存在する。 L↑+, L↑−,L↓−, L↓+ はそれぞれ、恒等変換 I 、空間反転 P、時間反転 T、空間時間反転 PT を含む。 I ∈ L + ↑ , P ∈ L − ↑ , T ∈ L − ↓ , P T ∈ L + ↓ {\displaystyle I\in L_{+}^{\uparrow },\,\,P\in L_{-}^{\uparrow },\,\,T\in L_{-}^{\downarrow },\,\,PT\in L_{+}^{\downarrow }} これらの変換により、L↑+, L↑−, L↓+, L↓− は次のように結び付けられる。 L + ↑ = P L − ↑ L + ↑ = T L − ↓ L + ↑ = P T L + ↓ {\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}^{\uparrow }&=PL_{-}^{\uparrow }\\L_{+}^{\uparrow }&=TL_{-}^{\downarrow }\\L_{+}^{\uparrow }&=PTL_{+}^{\downarrow }\end{aligned}}}
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