ノイズの多い画像に対するバリエーション
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/13 17:53 UTC 版)
「大津の二値化法」の記事における「ノイズの多い画像に対するバリエーション」の解説
大津の方法の限界に対処するためにさまざまな拡張が開発されてきた。人気のある拡張の1つは、ノイズの多い画像のオブジェクトセグメンテーションのタスクに適した2次元大津の方法である。ここでは、特定のピクセルの強度値をそのすぐ近傍の平均強度と比較することでセグメンテーション結果を改良する。 各ピクセルで、近傍の平均グレーレベル値が計算される。与えられたピクセルのグレーレベルを L {\displaystyle L} 個の離散値に分割し、平均グレーレベルも同じ L {\displaystyle L} 個の値に分割する。その後、ピクセルのグレーレベルと近傍の平均のペア ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} が形成される。各ペアは L × L {\displaystyle L\times L} 個の考えうる2次元ビンの1つに属する。ペア ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} の出現の総数（頻度） f i j {\displaystyle f_{ij}} を画像のピクセルの総数 N {\displaystyle N} で割ったものは、2次元ヒストグラムで同時確率密度関数を定義する。 P i j = f i j N , ∑ i = 0 L − 1 ∑ j = 0 L − 1 P i j = 1 {\displaystyle P_{ij}={\frac {f_{ij}}{N}},\qquad \sum _{i=0}^{L-1}\sum _{j=0}^{L-1}P_{ij}=1} そして、2次元大津の方法は、2次元ヒストグラムに基づいて次のように開発されている。 2つのクラスの確率は、次のように表せる。 ω 0 = ∑ i = 0 s − 1 ∑ j = 0 t − 1 P i j ω 1 = ∑ i = s L − 1 ∑ j = t L − 1 P i j {\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{0}&=\sum _{i=0}^{s-1}\sum _{j=0}^{t-1}P_{ij}\\\omega _{1}&=\sum _{i=s}^{L-1}\sum _{j=t}^{L-1}P_{ij}\end{aligned}}} 2つのクラスの強度平均ベクトルと合計平均ベクトルは次のように表せる。 μ 0 = [ μ 0 i , μ 0 j ] T = [ ∑ i = 0 s − 1 ∑ j = 0 t − 1 i P i j ω 0 , ∑ i = 0 s − 1 ∑ j = 0 t − 1 j P i j ω 0 ] T μ 1 = [ μ 1 i , μ 1 j ] T = [ ∑ i = s L − 1 ∑ j = t L − 1 i P i j ω 1 , ∑ i = s L − 1 ∑ j = t L − 1 j P i j ω 1 ] T μ T = [ μ T i , μ T j ] T = [ ∑ i = 0 L − 1 ∑ j = 0 L − 1 i P i j , ∑ i = 0 L − 1 ∑ j = 0 L − 1 j P i j ] T {\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{0}&=[\mu _{0i},\mu _{0j}]^{T}=\left[\sum _{i=0}^{s-1}\sum _{j=0}^{t-1}i{\frac {P_{ij}}{\omega _{0}}},\sum _{i=0}^{s-1}\sum _{j=0}^{t-1}j{\frac {P_{ij}}{\omega _{0}}}\right]^{T}\\\mu _{1}&=[\mu _{1i},\mu _{1j}]^{T}=\left[\sum _{i=s}^{L-1}\sum _{j=t}^{L-1}i{\frac {P_{ij}}{\omega _{1}}},\sum _{i=s}^{L-1}\sum _{j=t}^{L-1}j{\frac {P_{ij}}{\omega _{1}}}\right]^{T}\\\mu _{T}&=[\mu _{Ti},\mu _{Tj}]^{T}=\left[\sum _{i=0}^{L-1}\sum _{j=0}^{L-1}iP_{ij},\sum _{i=0}^{L-1}\sum _{j=0}^{L-1}jP_{ij}\right]^{T}\end{aligned}}} ほとんどの場合、非対角の確率はわずかであるため、次のことを簡単に確認することができる。 ω 0 + ω 1 ≅ 1 {\displaystyle \omega _{0}+\omega _{1}\cong 1} ω 0 μ 0 + ω 1 μ 1 ≅ μ T {\displaystyle \omega _{0}\mu _{0}+\omega _{1}\mu _{1}\cong \mu _{T}} クラス間離散行列は次のように定義される。 S b = ∑ k = 0 1 ω k [ ( μ k − μ T ) ( μ k − μ T ) T ] {\displaystyle S_{b}=\sum _{k=0}^{1}\omega _{k}[(\mu _{k}-\mu _{T})(\mu _{k}-\mu _{T})^{T}]} 離散行列のトレースは次のように表される。 tr ( S b ) = ω 0 [ ( μ 0 i − μ T i ) 2 + ( μ 0 j − μ T j ) 2 ] + ω 1 [ ( μ 1 i − μ T i ) 2 + ( μ 1 j − μ T j ) 2 ] = ( μ T i ω 0 − μ i ) 2 + ( μ T j ω 0 − μ j ) 2 ω 0 ( 1 − ω 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {tr} (S_{b})\\[4pt]={}&\omega _{0}[(\mu _{0i}-\mu _{Ti})^{2}+(\mu _{0j}-\mu _{Tj})^{2}]+\omega _{1}[(\mu _{1i}-\mu _{Ti})^{2}+(\mu _{1j}-\mu _{Tj})^{2}]\\[4pt]={}&{\frac {(\mu _{Ti}\omega _{0}-\mu _{i})^{2}+(\mu _{Tj}\omega _{0}-\mu _{j})^{2}}{\omega _{0}(1-\omega _{0})}}\end{aligned}}} ここで μ i = ∑ i = 0 s − 1 ∑ j = 0 t − 1 i P i j {\displaystyle \mu _{i}=\sum _{i=0}^{s-1}\sum _{j=0}^{t-1}iP_{ij}} μ j = ∑ i = 0 s − 1 ∑ j = 0 t − 1 j P i j {\displaystyle \mu _{j}=\sum _{i=0}^{s-1}\sum _{j=0}^{t-1}jP_{ij}} 1次元の大津の方法と同様に、最適なしきい値 ( s , t ) {\displaystyle (s,t)} は、 tr ( S b ) {\displaystyle \operatorname {tr} (S_{b})} を最大化することで取得される。
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