ノイズの多い観測
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/18 07:58 UTC 版)
「スパースモデリング」の記事における「ノイズの多い観測」の解説
多くの場合、観測された信号 x {\displaystyle x} はノイズを含んでいる。等式制約を緩和し、データフィッティング項に ℓ 2 {\displaystyle \ell _{2}} ノルムを課すことで、スパース分解問題は、 min α ∈ R p ‖ α ‖ 0 subject to ‖ x − D α ‖ 2 2 ≤ ϵ 2 {\displaystyle \min _{\alpha \in \mathbb {R} ^{p}}\|\alpha \|_{0}{\text{ subject to }}\|x-D\alpha \|_{2}^{2}\leq \epsilon ^{2}} あるいはラグランジュ形式で、 min α ∈ R p λ ‖ α ‖ 0 + 1 2 ‖ x − D α ‖ 2 2 {\displaystyle \min _{\alpha \in \mathbb {R} ^{p}}\lambda \|\alpha \|_{0}+{\frac {1}{2}}\|x-D\alpha \|_{2}^{2}} となる。ここで、 λ {\displaystyle \lambda } は ϵ {\displaystyle \epsilon } を置換する。 ノイズのない場合と同様に、これらの2つの問題は一般にNP困難であるが、追跡アルゴリズムを用いて近似することができる。より具体的には、 ℓ 0 {\displaystyle \ell _{0}} を ℓ 1 {\displaystyle \ell _{1}} ノルムに変更すると、 min α ∈ R p λ ‖ α ‖ 1 + 1 2 ‖ x − D α ‖ 2 2 {\displaystyle \min _{\alpha \in \mathbb {R} ^{p}}\lambda \|\alpha \|_{1}+{\frac {1}{2}}\|x-D\alpha \|_{2}^{2}} が得られ、これは基底追跡ノイズ除去（英語版）として知られている。同様に、マッチング追跡（英語版）も上記問題の解を近似するために使用することができ、誤差しきい値に達するまで、非ゼロの位置を1つずつ見つけていく。ここでも、BPとMPは、 D {\displaystyle D} の特性と解 k {\displaystyle k} のカーディナリティに応じて、ほぼ最適な解を導くことが理論的に保証されている。 もう一つの興味深い理論的結果は、 D {\displaystyle D} がユニタリ行列である場合に言及され、この仮定の下では、上述の問題（ ℓ 0 {\displaystyle \ell _{0}} または ℓ 1 {\displaystyle \ell _{1}} を持つ）は、非線形縮退の形で閉形式解を認める。
※この「ノイズの多い観測」の解説は、「スパースモデリング」の解説の一部です。
「ノイズの多い観測」を含む「スパースモデリング」の記事については、「スパースモデリング」の概要を参照ください。
- ノイズの多い観測のページへのリンク
