シューベルト多様体の交叉コホモロジーとの関連
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/21 03:00 UTC 版)
「カジュダン–ルスティック多項式」の記事における「シューベルト多様体の交叉コホモロジーとの関連」の解説
G をワイル群 W をもつ代数群とし、B をそのボレル部分群（英語版）とする。ブリュア分解によると、商空間 G/B は W の元 w でパラメトライズされたアフィン空間 Xw に分割される。Xw の閉包をシューベルト多様体と呼ぶ。ドリーニュの示唆のもとカジュダン・ルスティックは、カジュダン・ルスティック多項式がシューベルト多様体の交叉コホモロジー群を用いてどのように記述されるかを示した。 より正確に述べると、カジュダン・ルスティック多項式 Py, w(q) は P y , w ( q ) = ∑ i q i dim I H X y 2 i ( X w ¯ ) {\displaystyle P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim IH_{X_{y}}^{2i}({\overline {X_{w}}})} と表される。右辺の意味は次の通りである。まず w に対応するシューベルト多様体 X w ¯ {\displaystyle {\overline {X_{w}}}} の交叉コホモロジーを超コホモロジーに持つような層の複体 IC を取る。この複体の 2i 次のコホモロジー層を取り、Xy の任意の点における茎 I H X y 2 i ( X w ¯ ) {\displaystyle IH_{X_{y}}^{2i}({\overline {X_{w}}})} を取る。それらの次元を qi 倍したものの和が右辺である。奇数次元のコホモロジー群は消えているので和の中には現れない。 これは有限ワイル群に対するカジュダン・ルスティック多項式のすべての係数が非負であることの最初の証明を与えるものであった。
※この「シューベルト多様体の交叉コホモロジーとの関連」の解説は、「カジュダン–ルスティック多項式」の解説の一部です。
「シューベルト多様体の交叉コホモロジーとの関連」を含む「カジュダン–ルスティック多項式」の記事については、「カジュダン–ルスティック多項式」の概要を参照ください。
- シューベルト多様体の交叉コホモロジーとの関連のページへのリンク
