オイラーの素数生成多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/01 00:11 UTC 版)
「ヘーグナー数」の記事における「オイラーの素数生成多項式」の解説
n = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの素数生成多項式（英語版） n 2 − n + 41 {\displaystyle n^{2}-n+41} は、ヘーグナー数 163 = 4・41 − 1 と対応している。 オイラーの式において n {\displaystyle n} が 1, ..., 40 の値をとるとすると、 n {\displaystyle n} が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。 n 2 + n + 41 {\displaystyle n^{2}+n+41} ラビノヴィッチ（英語版） は n 2 + n + p {\displaystyle n^{2}+n+p\,} について、判別式 1 − 4 p {\displaystyle 1-4p} が負のヘーグナー数の場合、またそのときに限り、 n = 0 , … , p − 2 {\displaystyle n=0,\dots ,p-2} に対して素数を与えることを証明した。 （なお p − 1 {\displaystyle p-1} を代入すると p 2 {\displaystyle p^{2}} となるため、 p − 2 {\displaystyle p-2} が n の最大値となる。） 4 p − 1 = 1 , 2 , 3 {\displaystyle 4p-1=1,2,3} を満たす p が存在しないため、機能するヘーグナー数は 7 , 11 , 19 , 43 , 67 , 163 {\displaystyle 7,11,19,43,67,163} であり、これらはオイラーの形の素数生成式における p = 2 , 3 , 5 , 11 , 17 , 41 {\displaystyle p=2,3,5,11,17,41} にそれぞれ対応する。特にこれらの p は、リヨネ（英語版）によってオイラーの幸運数（英語版）と呼ばれている。
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