オイラーの解法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/13 14:41 UTC 版)
オイラーは、sin x のマクローリン展開を利用して解く方法を編み出した。まずは sin x を sin x = x 1 1 ! − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ {\displaystyle \sin x={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots } と展開する。この両辺を x で割ると ( 1 ) sin x x = 1 1 ! − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + ⋯ {\displaystyle (1)\qquad {\frac {\sin x}{x}}={\frac {1}{1!}}-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots } となる。左辺はちょうど x = ±nπ（n は正の整数）のとき 0 であるから、右辺を形式的に以下のように「因数分解」できる。 sin x x = ( 1 − x 1 π ) ( 1 + x 1 π ) ( 1 − x 2 π ) ( 1 + x 2 π ) ( 1 − x 3 π ) ( 1 + x 3 π ) ⋯ . {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\left(1-{\frac {x}{1\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{1\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots .} 隣接する2項を掛け合わせると ( 2 ) sin x x = ( 1 − x 2 1 2 π 2 ) ( 1 − x 2 2 2 π 2 ) ( 1 − x 2 3 2 π 2 ) ⋯ . {\displaystyle (2)\qquad {\frac {\sin x}{x}}=\left(1-{\frac {x^{2}}{1^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)\cdots .} (1) と (2) の右辺の x2 の係数は ( 1 ) : − 1 3 ! = − 1 6 , {\displaystyle (1)\colon -{\frac {1}{3!}}=-{\frac {1}{6}},} ( 2 ) : − ( 1 1 2 π 2 + 1 2 2 π 2 + 1 3 2 π 2 + ⋯ ) = − 1 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle (2)\colon -\left({\frac {1}{1^{2}\pi ^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}\pi ^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}} である。これらは等しいはずなので − 1 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = − 1 6 {\displaystyle -{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=-{\frac {1}{6}}} である。ゆえに、求める級数の値は ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} である。なおオイラーは一般的に、k 番目のベルヌーイ数を Bk とすると ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 k = ( − 1 ) k + 1 B 2 k ( 2 π ) 2 k 2 ( 2 k ) ! {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}=(-1)^{k+1}{\frac {B_{2k}(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}} が成り立つことも示した。
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