オイラーの証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/24 03:48 UTC 版)
偶数の完全数は 2p−1Mp の形に限ることの証明： オイラーの証明 N を偶数の完全数とする。N を 2 で割り切る最大回数を n とすると、N = 2nK（n は自然数、K は奇数）とおける。2n と K は互いに素であるので、σ(n) を約数関数とすると、約数関数は乗法的なので、N の正の約数の総和 σ(N) は以下のようになる。 σ ( N ) = σ ( 2 n ) σ ( K ) = ( ∑ k = 0 n 2 k ) σ ( K ) = ( 2 n + 1 − 1 ) σ ( K ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \left(N\right)&=\sigma \left(2^{n}\right)\ \sigma \left(K\right)=\left(\sum _{k=0}^{n}2^{k}\right)\sigma (K)\\&=\left(2^{n+1}-1\right)\ \sigma \left(K\right)\end{aligned}}} N は完全数であるため、σ(N) = 2N = 2n+1K なので ( 2 n + 1 − 1 ) σ ( K ) = 2 n + 1 K {\displaystyle \left(2^{n+1}-1\right)\sigma \left(K\right)=2^{n+1}K} が導かれる。2n+1 − 1 は奇数なので 2 で割り切れず、式が成立するためには、σ(K) は 2n+1 で割り切れなければならない。σ(K) = 2n+1a とおき、上の式に代入して両辺を 2n+1 で割れば ( 2 n + 1 − 1 ) a = K {\displaystyle \left(2^{n+1}-1\right)a=K} となる。 もし a ≠ 1 なら、1、 a、 (2n+1 − 1)a は K の相異なる約数のため、 σ ( K ) ≧ 1 + a + ( 2 n + 1 − 1 ) a = 2 n + 1 a + 1 = σ ( K ) + 1 {\displaystyle \sigma \left(K\right)\geqq 1+a+\left(2^{n+1}-1\right)a=2^{n+1}a+1=\sigma \left(K\right)+1} となり矛盾する。ゆえに、a = 1 でなければならない。したがって、N が偶数の完全数であるためには、 K = 2 n + 1 − 1 {\displaystyle K=2^{n+1}-1} かつ σ ( K ) = 2 n + 1 = K + 1 {\displaystyle \sigma \left(K\right)=2^{n+1}=K+1} でなければならない。σ(K) = K + 1 より、K は K と 1 以外に約数がない素数でなければならない。 ゆえに、N が偶数の完全数であるのは、N = 2n(2n+1 − 1)（ただし 2n+1 − 1 は素数）の形のときに限られる。Q.E.D.
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