オイラーの方法

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オイラーの方法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/03 04:19 UTC 版)

「四次方程式」の記事における「オイラーの方法」の解説

レオンハルト・オイラーは、三次方程式や四次方程式の解法をいくつか発見した。ここに述べる方法もオイラーの方法と呼ばれる解法の一つである。 (x + a + b + c) (x + a − b − c) (x − a + b − c) (x − a − b + c) = {(x + a)2 − (b + c)2}{(x − a)2 − (b − c)2} = (x2 − a2)2 + (b2 − c2)2 − (x + a)2 (b − c)2 − (x − a)2 (b + c)2 = x4 + a4 + b4 + c4 − 2 (x2 a2 + x2 b2 + x2 c2 + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2) + 8 x a b c = x4 − 2 (a2 + b2 + c2) x2 + 8 a b c x + a4 + b4 + c4 − 2 (a2 b2 + b2 c2 + c2 a2) という等式を用いると、x を未知数とする四次方程式 x4 − 2 (a2 + b2 + c2) x2 + 8 a b c x + a4 + b4 + c4 − 2 (a2 b2 + b2 c2 + c2 a2) = 0 の4個の解は − a − b − c, − a + b + c, a − b + c, a + b − c であることが分かる。 この方程式と、3 次の項の消えた四次方程式 x4 + p x2 + q x + r = 0 の係数を比べ、p, q, r から a, b, c を求めることができれば、3 次の項の消えた四次方程式の解は上にあるように 4 つ求まる。 実際に係数を比べてみれば p = − 2 (a2 + b2 + c2) q = 8 a b c r = a4 + b4 + c4 − 2 (a2 b2 + b2 c2 + c2 a2) = (a2 + b2 + c2)2 − 4 (a2 b2 + b2 c2 + c2 a2) ここで f0 = (2a)2, f1 = (2b)2, f2 = (2c)2 とおけば f0 + f1 + f2 = −2p f0 f1 + f1 f2 + f2 f0 = p2 − 4 r f0 f1 f2 = q2 となり、根と係数の関係により f0, f1, f2 は三次方程式 u3 + 2 p u2 + (p2 − 4 r) u − q2 = 0 の解であり、これもフェラーリの方法に現れた三次分解方程式である。この三次方程式を解くことによって a, b, c が得られる。