オイラーの和公式による導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/19 22:01 UTC 版)
「スターリングの近似」の記事における「オイラーの和公式による導出」の解説
オイラーの乗積表示によるガンマ関数の定義の対数をとり log Γ ( z ) = log { ( z − 1 ) Γ ( z − 1 ) } = lim N → ∞ ( z − 1 ) log N + ∑ n = 1 N { log n − log ( n + z − 1 ) } {\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=\log {\big \{}(z-1)\Gamma (z-1){\big \}}\\&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+\sum _{n=1}^{N}{\big \{}\log n-\log(n+z-1){\big \}}\end{aligned}}} f ( n ) = log n − log ( n + z − 1 ) {\displaystyle f(n)=\log n-\log(n+z-1)} にオイラーの和公式を適用すれば log Γ ( z ) = lim N → ∞ ( z − 1 ) log N + ∫ n = 1 N f ( n ) d n + 1 2 ( f ( N ) + f ( 1 ) ) + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( N ) − f ( 2 k − 1 ) ( 1 ) ) + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) ( 2 m + 1 ) ! f ( 2 m + 1 ) ( n ) d n = lim N → ∞ ( z − 1 ) log N + [ n log n − ( n + z − 1 ) log ( n + z − 1 ) ] n = 1 N + 1 2 { log N − log ( N + z − 1 ) − log z } + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) { 1 N 2 k − 1 − 1 ( N + z − 1 ) 2 k − 1 − 1 + 1 z 2 k − 1 } + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) 2 m + 1 { 1 n 2 m + 1 − 1 ( n + z − 1 ) 2 m + 1 } d n = lim N → ∞ ( N + z − 1 2 ) { log N − log ( N + z − 1 ) } + ( z + 1 2 ) log z + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) { 1 N 2 k − 1 − 1 ( N + z − 1 ) 2 k − 1 − 1 + 1 z 2 k − 1 } + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) 2 m + 1 { 1 n 2 m + 1 − 1 ( n + z − 1 ) 2 m + 1 } d n = − z + 1 + ( z − 1 2 ) log z − ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) ( 1 − 1 z 2 k − 1 ) + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) 2 m + 1 { 1 n 2 m + 1 − 1 ( n + z − 1 ) 2 m + 1 } d n {\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+\int _{n=1}^{N}f(n)\,dn+{\frac {1}{2}}{\big (}f(N)+f(1){\big )}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(N)-f^{(2k-1)}(1)\right)+\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{(2m+1)!}}f^{(2m+1)}(n)\,dn\\&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+{\bigg [}n\log n-(n+z-1)\log(n+z-1){\bigg ]}_{n=1}^{N}+{\frac {1}{2}}{\big \{}\log N-\log(N+z-1)-\log z{\big \}}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left\{{\frac {1}{N^{2k-1}}}-{\frac {1}{(N+z-1)^{2k-1}}}-1+{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right\}\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\\&=\lim _{N\to \infty }\left(N+z-{\frac {1}{2}}\right){\big \{}\log N-\log(N+z-1){\big \}}+\left(z+{\frac {1}{2}}\right)\log z\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left\{{\frac {1}{N^{2k-1}}}-{\frac {1}{(N+z-1)^{2k-1}}}-1+{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right\}\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\\&=-z+1+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left(1-{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right)\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\end{aligned}}} となる。右辺の定数を集めて C = 1 − ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) d n ( 2 m + 1 ) n 2 m + 1 {\displaystyle C=1-\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}+\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)n^{2m+1}}}} とすれば log Γ ( z ) = C − z + ( z − 1 2 ) log z + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) z 2 k − 1 − ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) d n ( 2 m + 1 ) ( n + z − 1 ) 2 m + 1 {\displaystyle \log \Gamma (z)=C-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}}}-\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}}} となり、この主要部をガンマ関数の相補公式に代入して z → i ∞ {\displaystyle z\to i\infty } とすれば Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = − z Γ ( z ) Γ ( − z ) = π sin π z {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z)\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}} π i + log z + log Γ ( z ) + log Γ ( − z ) − log sin π z − log π = 0 {\displaystyle \pi i+\log z+\log \Gamma (z)+\log \Gamma (-z)-\log \sin \pi z-\log \pi =0} π i + log z + C − z + ( z − 1 2 ) log z + C + z + ( − z − 1 2 ) ( π i + log z ) − log sin π z − log π = 0 {\displaystyle \pi i+\log z+C-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+C+z+\left(-z-{\frac {1}{2}}\right)\left(\pi i+\log z\right)-\log \sin \pi z-\log \pi =0} 2 C + π i 2 − π i z − log sin π z − log π = 0 {\displaystyle 2C+{\frac {\pi i}{2}}-\pi iz-\log \sin \pi z-\log \pi =0} となるが log sin π z = log ( e π i z − e − π i z ) − π i 2 − log 2 ∼ π i z − π i 2 − log 2 {\displaystyle \log \sin \pi z=\log \left(e^{\pi iz}-e^{-\pi iz}\right)-{\frac {\pi i}{2}}-\log 2\sim \pi iz-{\frac {\pi i}{2}}-\log 2} であるから C = log 2 π 2 {\displaystyle C={\frac {\log 2\pi }{2}}} を得る。剰余項については α = 2 1 + cos arg z {\displaystyle \alpha ={\frac {2}{1+\cos \arg z}}} として | ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) d n ( 2 m + 1 ) ( n + z − 1 ) 2 m + 1 | ≤ | B 2 m | 2 m ∫ n = 1 N d n | n + z − 1 | 2 m + 1 ≤ | B 2 m | 2 m α 2 m + 1 ∫ n = 1 N d n ( n + | z | − 1 ) 2 m + 1 = | B 2 m | α 2 m + 1 | z | 2 m = O ( z − 2 m ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}}\right|&\leq {\frac {\left|B_{2m}\right|}{2m}}\int _{n=1}^{N}{\frac {dn}{\left|n+z-1\right|^{2m+1}}}\\&\leq {\frac {\left|B_{2m}\right|}{2m\alpha ^{2m+1}}}\int _{n=1}^{N}{\frac {dn}{(n+\left|z\right|-1)^{2m+1}}}={\frac {\left|B_{2m}\right|}{\alpha ^{2m+1}\left|z\right|^{2m}}}=O\left(z^{-2m}\right)\\\end{aligned}}} である。故に log Γ ( z ) = log 2 π 2 − z + ( z − 1 2 ) log z + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) z 2 k − 1 + O ( z − 2 m ) {\displaystyle \log \Gamma (z)={\frac {\log 2\pi }{2}}-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}}}+O\left(z^{-2m}\right)} を得る。最初の数項を書き下せば log Γ ( z ) ∼ log 2 π − z + ( z − 1 2 ) log z + 1 12 z − 1 360 z 3 + 1 1260 z 5 − 1 1680 z 7 + 1 1188 z 9 {\displaystyle \log \Gamma (z)\sim \log {\sqrt {2\pi }}-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}-{\frac {1}{1680z^{7}}}+{\frac {1}{1188z^{9}}}} Γ ( z ) ∼ 2 π z ( z e ) z exp ( 1 12 z − 1 360 z 3 + 1 1260 z 5 − 1 1680 z 7 + 1 1188 z 9 ) {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\exp \left({\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}-{\frac {1}{1680z^{7}}}+{\frac {1}{1188z^{9}}}\right)} とやり、指数関数のテイラー展開により Γ ( z ) ∼ 2 π z ( z e ) z ( 1 + 1 12 z + 1 288 z 2 − 139 51840 z 3 ) {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51840z^{3}}}\right)} となる。
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