オイラーの和公式との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 20:45 UTC 版)
「アベル・プラナの和公式」の記事における「オイラーの和公式との関係」の解説
f ( a ± i y ) {\displaystyle f(a\pm {iy})} を a {\displaystyle a} を中心としたテイラー級数に、 f ( b ± i y ) {\displaystyle f(b\pm {iy})} を b {\displaystyle b} を中心としたテイラー級数に展開すると、 ∑ n = a b f ( n ) = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ f ( a + i y ) − f ( a − i y ) − f ( b + i y ) + f ( b − i y ) e 2 π y − 1 d y = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ f ( k ) ( a ) ( i y ) k − f ( k ) ( a ) ( − i y ) k − f ( k ) ( b ) ( i y ) k + f ( k ) ( b ) ( − i y ) k ( e 2 π y − 1 ) k ! d y = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + 2 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k f ( 2 k − 1 ) ( a ) − f ( 2 k − 1 ) ( b ) ( 2 k − 1 ) ! ∫ 0 ∞ y 2 k − 1 e 2 π y − 1 d y {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}f(n)&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy\\&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)(iy)^{k}-f^{(k)}(a)(-iy)^{k}-f^{(k)}(b)(iy)^{k}+f^{(k)}(b)(-iy)^{k}}{\left(e^{2{\pi }y}-1\right)k!}}dy\\&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {f^{(2k-1)}(a)-f^{(2k-1)}(b)}{(2k-1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2k-1}}{e^{2{\pi }y}-1}}dy\\\end{aligned}}} となるが、最後の積分は ∫ 0 ∞ y 2 k − 1 e 2 π y − 1 d y = ∫ 0 ∞ e − 2 π y y 2 k − 1 1 − e − 2 π y d y = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ e − 2 π n y y 2 k − 1 d y = 1 ( 2 π ) 2 k ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 k ∫ 0 ∞ e − t t 2 k − 1 d t ( t = 2 π n y ) = ( 2 k − 1 ) ! ( 2 π ) 2 k ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 k = ( − 1 ) k − 1 B 2 k 4 k {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2k-1}}{e^{2{\pi }y}-1}}dy&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-2{\pi }y}y^{2k-1}}{1-e^{-2{\pi }y}}}dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-2{\pi }ny}y^{2k-1}dy\\&={\frac {1}{(2{\pi })^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{2k-1}dt\qquad (t=2{\pi }ny)\\&={\frac {(2k-1)!}{(2{\pi })^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\\&={\frac {(-1)^{k-1}B_{2k}}{4k}}\\\end{aligned}}} であるから ∑ n = a b f ( n ) = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( b ) − f ( 2 k − 1 ) ( a ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}f(n)&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)\\\end{aligned}}} となり、オイラーの和公式を得る。なお、 B 2 k {\displaystyle B_{2k}} はベルヌーイ数である。
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