アーベル化 H1
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 00:51 UTC 版)
群の一次元ホモロジー群は群のアーベル化に一致する（また、An は知られた例外を除いて完全である）から、 H 1 ( A n , Z ) = 0 for n = 0 , 1 , 2 ; {\displaystyle H_{1}(A_{n},\mathbb {Z} )=0{\mbox{ for }}n=0,1,2;} H 1 ( A 3 , Z ) = A 3 ab = A 3 = Z / 3 Z ; {\displaystyle H_{1}(A_{3},\mathbb {Z} )=A_{3}^{\text{ab}}=A_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ;} H 1 ( A 4 , Z ) = A 4 ab = Z / 3 Z ; {\displaystyle H_{1}(A_{4},\mathbb {Z} )=A_{4}^{\text{ab}}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ;} H 1 ( A n , Z ) = 0 for n ≥ 5 {\displaystyle H_{1}(A_{n},\mathbb {Z} )=0{\mbox{ for }}n\geq 5} が得られる。これは以下のようにすれば直接確認することも容易である。まず、A3 は長さ 3 の巡回置換によって生成され、位数 3 の元は位数 3 の元に写らなければならないから、非自明なアーベル化写像は準同型 An → C3 のとり方のみによって決まる。 n ≥ 5 ならば、長さ 3 の巡回置換はすべて互いに共軛であるから、これらの元はアーベル化の中で同じ元に写る（共軛変換は可換群には自明に働く）。したがって、(123) のような長さ 3 の巡回置換はその逆元 (321) ともども同じ元へ写るが、その行き先は位数が 2 も 3 も割り切るものである単位元でなければならない。ゆえにアーベル化は自明群である。 n < 3 のときは An 自身が自明群だから、そのアーベル化も同様に自明である。A3, A4 については直接そのアーベル化を計算して確かめればよいが、注意すべきは長さ 3 の巡回置換の全体はすべてが共軛というわけにはいかず、ふたつの共軛類に分かれることである。したがって、非自明な全射準同型 A 3 ↠ C 3 , A 4 ↠ C 3 {\displaystyle A_{3}\twoheadrightarrow C_{3},\quad A_{4}\twoheadrightarrow C_{3}} が存在する。前者は実際には同型である。
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