アーベル多様体の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/04 07:39 UTC 版)
大半のアーベル多様体に対し、代数 Hdg*(X) は次数 1 で生成されるので、ホッジ予想が成り立つ。特に、ホッジ予想は、十分一般的なアーベル多様体、楕円曲線の積や単純アーベル多様体に対して成り立つ[要出典]。しかし、Mumford (1969) では、Hdg2(X) が因子クラスの積によって生成されないようなアーベル多様体の例を構成した。この例を Weil (1977) で、一般化した。このことは、多様体が虚二次体によって虚数乗法を持つときは、いつでも Hdg2(X) が因子類の積によっては生成されないことを示すことでなされた。Moonen & Zarhin (1999)は 5 より次元の小さい場合に対し、Hdg*(X) が次数 1 で生成されるか、あるいは多様体が虚二次体の虚数乗法を持つかのいずれかであることを証明した。後者の場合には、ホッジ予想が成り立つ例は、特別ないくつかの場合だけしか知られていない。
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