アーベル圏の中でのExtの構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/04 15:36 UTC 版)
「Ext関手」の記事における「アーベル圏の中でのExtの構成」の解説
ベール和の見方は、Ext1Ab(A, B) の定義を、射影加群や入射加群といった観点なしでも、アーベル圏（圏が射影加群や入射加群をもたない加群であっても）上で Ext関手を定義することが可能となる。単純に、Ext1Ab(A, B) を B による A の拡大の同値類の集合とすると、ベール和の下のアーベル群が形成される。同様に、高次 Ext群 ExtnAb(A, B) も n-拡大の同値類として定義することができる。ここで n-拡大とは完全列 0 → B → X n → ⋯ → X 1 → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{1}\rightarrow A\rightarrow 0} であり、同値関係は、すべての m ∈ {1, 2, ..., n} に対し写像 Xm → X'm が存在して可換図式となるような、つまり鎖写像(chain map) X : ξ → ξ {\displaystyle X:\xi \rightarrow \xi } ' が存在するような2本の完全列 ξ : 0 → B → X n → ⋯ → X 1 → A → 0 {\displaystyle \xi :0\rightarrow B\rightarrow X_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{1}\rightarrow A\rightarrow 0} ξ ′ : 0 → B → X n ′ → ⋯ → X 1 ′ → A → 0 {\displaystyle \xi ':0\rightarrow B\rightarrow X'_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X'_{1}\rightarrow A\rightarrow 0} の同一視から生成される。 上記の 2つの n-拡大のベール和は、X′′1 を A 上のX1 と X′1 の引き戻し(pullback)、'X′′n をXn と X′n の B の下の押し出し（英語版）(pushout) として得られる。Weibel, §3.4 を参照。従って、拡大のベール和は、 0 → B → X n ″ → X n − 1 ⊕ X n − 1 ′ → ⋯ → X 2 ⊕ X 2 ′ → X 1 ″ → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X''_{n}\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{2}\oplus X'_{2}\rightarrow X''_{1}\rightarrow A\rightarrow 0} として定義される。
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