拡大のベール和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/04 15:36 UTC 版)
2つの拡大 0 → B → E → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0} 0 → B → E ′ → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E^{\prime }\rightarrow A\rightarrow 0} が与えられると、ベール和(Baer sum)と呼ばれる A {\displaystyle A} からの引き戻し(pullback) Γ = { ( e , e ′ ) ∈ E ⊕ E ′ | g ( e ) = g ′ ( e ′ ) } . {\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.} が得られる。 関係式 ( f ( b ) + e , e ′ ) ∼ ( e , f ′ ( b ) + e ′ ) {\displaystyle (f(b)+e,e')\sim (e,f'(b)+e')} を与えることと同じであるが、商 Y = Γ / { ( f ( b ) , 0 ) − ( 0 , f ′ ( b ) ) | b ∈ B } {\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),0)-(0,f'(b))\;|\;b\in B\}} , をとると、拡大 0 → B → Y → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0} が得られる。ここに第一の → は b ↦ [ ( f ( b ) , 0 ) ] = [ ( 0 , f ′ ( b ) ) ] {\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]} で、第二の → は ( e , e ′ ) ↦ g ( e ) = g ′ ( e ′ ) {\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')} であるので、E と E' の拡大のベール和と呼ばれる和が得られる。 拡大による同値類を同一視すると、ベール和は可換であり、自明な拡大を恒等元として持っている。拡大 0 → B → E → A → 0 は、射 g を -g に置き換えること反対の eg であり、真ん中の矢の逆にした拡大と同じである。 拡大の同値類を同一視した集合はアーベル群であり、関手 E x t R 1 ( A , B ) {\displaystyle Ext_{R}^{1}(A,B)} を実現している。
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