拡大の同値性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/04 15:36 UTC 版)
Ext関手の命名は、加群の拡大(extension)との関係で命名された。R-加群 A と B が与えられると、A の B による拡大は、R-加群の短完全系列 0 → B → E → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0} である。2つの拡大 0 → B → E → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0} 0 → B → E ′ → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E^{\prime }\rightarrow A\rightarrow 0} は、次の可換図式が存在するときに、（A の B による拡大として）同値であるという。 . 5項補題により、真ん中の縦の矢印は同型である。A の B による拡大が、自明な拡大 0 → B → A ⊕ B → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow A\oplus B\rightarrow A\rightarrow 0} と同値であれば、分裂(split)といわれる。 A の B による拡大 0 → B → E → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0} の同値類と、 Ext R 1 ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(A,B)} の元との間には、全単射な対応がある。
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