線型写像

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/14 23:07 UTC 版)

線型写像の空間

ベクトル空間 $V$ から $W$ への $𝔽$ -線型写像の全体の作る集合を

\operatorname {Hom} _{\mathbb {F} }(V,W)={\mathcal {L}}(V,W):=\{f\colon V\to W\mid f{\text{: linear}}\}

などで表す。この集合 $L (V, W)$ は上記の和とスカラー倍によって、それ自身一つのベクトル空間になる。特に $W ≔ 𝔽$ としたとき、つまりベクトル空間 $V$ 上の線型汎函数の空間

V^{*}:={\mathcal {L}}(V,F)

は $V$ の（代数的）双対空間と呼ばれる。特にまた

{\mathcal {L}}(V,W)\cong V^{*}\otimes W

なる同型が成り立つ。

ベクトル空間 $V$ から $V$ 自身への $𝔽$ -線型写像 $f$ を $V$ における $𝔽$ 上の線型変換または $𝔽$ -自己準同型 (endomorphism) などという。 $V$ における $𝔽$ -線型変換全体の成す集合

\operatorname {End} _{F}(V):={\mathcal {L}}_{F}(V,V)

は和と合成に関して $V$ 上の $𝔽$ -自己準同型環と呼ばれる $𝔽$ 上の結合多元環の構造を持つ。 $V$ 上の線型変換 $f : V \to V$ が同型であるとき、線型変換 $f$ を $V$ 上の正則線型変換あるいは $𝔽$ -自己同型 (automorphism) という。 $V$ における正則 $𝔽$ -線型変換の全体の成す集合

{\mathit {GL}}_{F}(V):=\left\{f\colon V\to V\mid f{\text{: automorphism}}\right\}

や $GL (V)$ などと表す。 $GL (V)$ は写像の合成を積として $V$ 上の一般線型群と呼ばれる群を成す（単位元は恒等写像、逆元は逆写像で与えられる）。

脚注

^ 一次の微分形式（一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form）を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。
^ 加法性から斉一次性が従うベクトル空間もあるが、一般にはそのようなことは期待できない。例えば、実数の全体 $ℝ$ は無限次元 $ℚ$ -線型空間とも一次元 $ℝ$ -線型空間とも見做すことができるが、 $ℝ$ 上の加法的函数は必ず $ℚ$ -線型写像となり、しかし必ずしも $ℝ$ -線型でない（この場合はさらに連続性を仮定すれば $ℝ$ -線型になる）ことが示される（コーシーの函数方程式の項を参照）。つまり一般には「加法性」と「斉一次性」は独立した制約条件である。
^ 考えている係数体が何であるかは線型性にとって重要である。例えば、複素数全体の成す体 $ℂ$ は $ℂ$ 上一次元のベクトル空間であるとともに、 $ℝ$ 上二次元のベクトル空間でもある。各複素数に対し、その複素共軛をとる操作は $ℂ$ 上の $ℝ$ -線型変換であるが、しかし $ℂ$ -線型ではない。