線型写像

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/14 20:53 UTC 版)

線型写像の演算

線型写像がいくつか与えられたとき、それらから新たな線型写像を作り出す操作がいくつか存在する。

線型演算

線型写像

f, f 1, f 2 : V \to W

および係数体の元

a

に対して、スカラー倍

af

および和

f 1 + f 2

を

(af)(v):=a(f(v)),\quad (f_{1}+f_{2})(v):=f_{1}(v)+f_{2}(v)

で定めると、これらはまた

V

から

W

への線型写像を定める。

積

f : V \to W

および

g : W \to X

が線型ならば、その合成

g \circ f

は

V

から X への線型写像を定める。

反転

線型写像

f : V \to W

が全単射（したがって同型）であるとき、逆写像

f -1 : W \to V

もまた線型同型になる。

双線型写像 $f : V \times W \to X$ が与えられたとき、テンソル積空間 $V \otimes W$ から $X$ への線型写像 $φ$ が

\varphi (v\otimes w):=f(v,w)\quad (v\in V,w\in W)

によって誘導される（テンソル積の普遍性）。

^ 一次の微分形式（一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form）を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。
^ 加法性から斉一次性が従うベクトル空間もあるが、一般にはそのようなことは期待できない。例えば、実数の全体 $ℝ$ は無限次元 $ℚ$ -線型空間とも一次元 $ℝ$ -線型空間とも見做すことができるが、 $ℝ$ 上の加法的函数は必ず $ℚ$ -線型写像となり、しかし必ずしも $ℝ$ -線型でない（この場合はさらに連続性を仮定すれば $ℝ$ -線型になる）ことが示される（コーシーの函数方程式の項を参照）。つまり一般には「加法性」と「斉一次性」は独立した制約条件である。
^ 考えている係数体が何であるかは線型性にとって重要である。例えば、複素数全体の成す体 $ℂ$ は $ℂ$ 上一次元のベクトル空間であるとともに、 $ℝ$ 上二次元のベクトル空間でもある。各複素数に対し、その複素共軛をとる操作は $ℂ$ 上の $ℝ$ -線型変換であるが、しかし $ℂ$ -線型ではない。