線型写像

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/14 20:53 UTC 版)

行列表現

$ℝ$ ² における線形変換行列の例
反時計回りの90度回転 ${\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$	反時計回りのθ回転 ${\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}$
x 軸に関する反転 ${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$	y 軸に関する反転 ${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$
すべての方向に長さ 2 倍 ${\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}$	squeeze 変換 ${\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}$
水平方向に剪断 ${\begin{bmatrix}1&m\\0&1\end{bmatrix}}$	y 軸への射影 ${\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}$

成分を体 $𝕂$ にもつ $m$ 行 $n$ 列の行列を $A$ とするとき、 $f (x) = A x (x \in 𝕂 n)$ は数ベクトル空間 $𝕂 n$ から $𝕂 m$ への $𝕂$ -線型写像を定める。これとは逆に、 $V$ と $W$ が有限次元のベクトル空間で、それぞれの空間の基底が選ばれているならば、各ベクトルをそれらの基底に関する成分表示と同一視できるから、 $V$ から $W$ への任意の線型写像は行列として表すことができる。このことは、具体的な計算を可能にするという点で便利である。

$V$ の基底を $\{v_{1},\cdots ,v_{n}\}$ 、 $W$ の基底を $\{w_{1},\cdots ,w_{m}\}$ とおく。

$V$ の要素 $(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n})$ の線型写像 $f : V \to W$ について、線形性の定義から

f(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n})=a_{1}f(v_{1})+\cdots +a_{n}f(v_{n})

が成り立つ。各基底の行き先 $f (v j)$ が分かれば、この写像は一つに決まる。このとき

f(v_{j})=a_{1j}w_{1}+\cdots a_{mj}w_{m}

となるスカラー $a ij$ を $(i, j)$ -成分にもつ行列を $A f$ とすれば、この写像は、

f{\Big (}(v_{1},\ldots ,v_{n}){\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}{\Bigr )}=(w_{1},\ldots ,w_{m})A_{f}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}

と書くことができる。基底の変換

P\colon (v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto (v_{1}',\ldots ,v_{n}'),\quad Q\colon (w_{1},\ldots ,w_{m})\mapsto (w_{1}',\ldots ,w_{m}')

を行うとき、 $P, Q$ は正則行列で $(v' 1, \dots, v' n) = (v 1, \dots, v n) P$ , $(w' 1, \dots, w' m) = (w 1, \dots, w m) Q$ であり、

{\begin{aligned}f{\Big (}(v_{1}',\ldots ,v_{n}'){\begin{bmatrix}a_{1}'\\\vdots \\a_{n}'\end{bmatrix}}{\Bigr )}&=f{\Big (}(v_{1},\ldots ,v_{n})P{\begin{bmatrix}a_{1}'\\\vdots \\a_{n}'\end{bmatrix}}{\Bigr )}\\&=(w_{1},\ldots ,w_{m})A_{f}P{\begin{bmatrix}a_{1}'\\\vdots \\a_{n}'\end{bmatrix}}=(w_{1}',\ldots ,w_{m}')Q^{-1}A_{f}P{\begin{bmatrix}a_{1}'\\\vdots \\a_{n}'\end{bmatrix}}\end{aligned}}

が成立するから、表現行列は $Q -1 A f P$ に置き換わる。

適当な基底を固定して各線型写像 $f : V \to W$ に対応する行列を $A f$ と書けば、

A_{f_{1}+f_{2}}=A_{f_{1}}+A_{f_{2}},\quad A_{cf}=cA_{f}

が成り立つから、特に $𝕂$ 上のベクトル空間 $V, W$ の $𝕂$ 上次元がそれぞれ $n, m$ であるとき、

{\rm {Hom}}_{K}(V,W)\cong {\rm {Mat}}(m,n;K)

というベクトル空間の同型が成り立つ。また、合成に関しても

A_{g\circ f}=A_{g}A_{f}

（右辺は行列の積）となるから、特に $V = W$ のとき

\operatorname {End} _{K}(V)\cong \operatorname {Mat} _{n}(K)

は結合多元環の同型になる。これらの同型が成り立つことをもって、線型写像が行列によって表現されるという。

脚注

^ 一次の微分形式（一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form）を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。
^ 加法性から斉一次性が従うベクトル空間もあるが、一般にはそのようなことは期待できない。例えば、実数の全体 $ℝ$ は無限次元 $ℚ$ -線型空間とも一次元 $ℝ$ -線型空間とも見做すことができるが、 $ℝ$ 上の加法的函数は必ず $ℚ$ -線型写像となり、しかし必ずしも $ℝ$ -線型でない（この場合はさらに連続性を仮定すれば $ℝ$ -線型になる）ことが示される（コーシーの函数方程式の項を参照）。つまり一般には「加法性」と「斉一次性」は独立した制約条件である。
^ 考えている係数体が何であるかは線型性にとって重要である。例えば、複素数全体の成す体 $ℂ$ は $ℂ$ 上一次元のベクトル空間であるとともに、 $ℝ$ 上二次元のベクトル空間でもある。各複素数に対し、その複素共軛をとる操作は $ℂ$ 上の $ℝ$ -線型変換であるが、しかし $ℂ$ -線型ではない。