線型写像

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/14 20:53 UTC 版)

核・像と全射性・単射性

線型写像 $f : V \to W$ に対して

\operatorname {Im} (f)=f(V):=\{\ f(v)\in W\mid v\in V\ \}\subset W,

\operatorname {Ker} (f):=\{v\in V\mid f(v)=0\ \}\subset V

をそれぞれ、 $f$ の像 (image), 核 (kernel) という。これらはそれぞれの空間の線型部分空間であり、またこれらの次元

{\text{rk}}(f):=\dim \left(\operatorname {Im} (f)\right),\quad \operatorname {nul} (f):=\dim \left(\operatorname {Ker} (f)\right)

は $f$ のそれぞれ階数 (rank), 退化次数 (nullity) と呼ばれ、有限次元のときには

\dim(V)=\operatorname {rk} (f)+\operatorname {nul} (f)

なる等式を満足する（階数退化次数定理）。

\operatorname {Coker} (f):=W/\operatorname {Im} (f)

は $f$ の余核と呼ばれる。核および余核は線型写像 $f$ のそれぞれ単射性および全射性からの「ずれ」を測るものと考えることができる。即ち、

$f$ が単射であるための必要十分条件は $Ker(f) = {0}$ となることであり、
$f$ が全射であるための必要十分条件は $Coker(f) = {0}$ となることである。

線型写像 $f \in Hom 𝔽 (V, W)$ が全単射であるとき、 $f$ は $V$ から $W$ への $𝔽$ -線型同型写像あるいは $𝔽$ 上の同型、 $𝔽$ -同型であるという。また、ベクトル空間 $V, W$ の間に線型同型が存在するとき、 $V$ と $W$ はベクトル空間として同型であるという。

脚注

^ 一次の微分形式（一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form）を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。
^ 加法性から斉一次性が従うベクトル空間もあるが、一般にはそのようなことは期待できない。例えば、実数の全体 $ℝ$ は無限次元 $ℚ$ -線型空間とも一次元 $ℝ$ -線型空間とも見做すことができるが、 $ℝ$ 上の加法的函数は必ず $ℚ$ -線型写像となり、しかし必ずしも $ℝ$ -線型でない（この場合はさらに連続性を仮定すれば $ℝ$ -線型になる）ことが示される（コーシーの函数方程式の項を参照）。つまり一般には「加法性」と「斉一次性」は独立した制約条件である。
^ 考えている係数体が何であるかは線型性にとって重要である。例えば、複素数全体の成す体 $ℂ$ は $ℂ$ 上一次元のベクトル空間であるとともに、 $ℝ$ 上二次元のベクトル空間でもある。各複素数に対し、その複素共軛をとる操作は $ℂ$ 上の $ℝ$ -線型変換であるが、しかし $ℂ$ -線型ではない。