ベルヌーイの定理

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/20 15:44 UTC 版)

一様重力のもとでの非圧縮非粘性定常流の場合

非圧縮性バロトロピック流体では密度一定だから ${\textstyle \int dp/\rho =p/\rho +\mathrm {constant} }$

右方向に流れる流体の作る流管。

非粘性・非圧縮性・定常流におけるベルヌーイの定理は、体積の保存則(質量保存則)、および、仕事とエネルギーの関係(エネルギー保存則)から導くことができる。初期に断面A₁とA₂に挟まれた流体に着目する。断面A₁から流入した流体粒子は時間Δt の間に、s₁=v₁Δt だけ移動し、断面A₂から流出した流体粒子はs₂=v₂Δt だけ移動する。
(1)体積の保存。断面 A₁ から流入した体積と断面 A₂ から流出した体積はそれぞれ A₁s₁ と A₂s₂ となり、定常な非圧縮性流体を考えているので、

$A_{1}s_{1}=A_{2}s_{2}(=\Delta V)$

が成り立つ。
(2) 系の力学的エネルギーの増分は系になされた仕事に等しい。
(2-1) 接触力(圧力由来)は、断面 A₁ では正の向きに、断面 A₂ では負の向きに、挟まれた流体に対して仕事をするので、

$W=(p_{1}A_{1})s_{1}-(p_{2}A_{2})s_{2}=\Delta V(p_{1}-p_{2})$

(2-2) 重力の位置エネルギー U の変化は、高さ z₁ にある質量 ρΔV の流体が、高さ z₂ に移動したと考えれば、

$\Delta U=\rho \Delta V\,(gz_{2}-gz_{1})$

(2-3) そして、運動エネルギー K の変化は、速度 v₁ である質量 ρΔV の流体が、速度 v₂ になると考えれば、

$\Delta K=\rho \Delta V\left({v_{2}^{2} \over 2}-{v_{1}^{2} \over 2}\right)$

(2-4) エネルギー保存則

$\Delta K+\Delta U=W$

より、

${\begin{aligned}&\rho \Delta V\left({v_{2}^{2} \over 2}-{v_{1}^{2} \over 2}\right)+\rho \Delta V\,(gz_{2}-gz_{1})=\rho \Delta V\left({p_{1} \over \rho }-{p_{2} \over \rho }\right)\\\therefore ~&{v_{2}^{2} \over 2}+{p_{2} \over \rho }+gz_{2}={v_{1}^{2} \over 2}+{p_{1} \over \rho }+gz_{1}\end{aligned}}$

が得られる。
(3) これは流管内の任意の断面で成り立つものであり、断面積を小さくとると流線上の任意の点で成り立つと考えてよい。
これより、流線上で

${\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}+gz=\mathrm {constatnt}$

が成り立つことが導けた。

表現の違い

水頭による表現

${\frac {v^{2}}{2g}}+{\frac {p}{\rho g}}+z=H_{0}=\mathrm {constant}$ ［m］

第一項 $v^{2}/(2g)$ を速度ヘッド（英: velocity head）という。第二項 $p/\rho g$ を 圧力ヘッド（英: pressure head）という。第三項 $z$ を位置ヘッド（英: potential head）という。これら全てを足しあわせた値 $H_{0}$ を全ヘッド（英: total head）という。
エネルギーによる表現

${\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+p{\frac {m_{0}}{\rho }}+m_{0}gz=\mathrm {constant}$ ［J］

圧力による表現

${\frac {1}{2}}\rho v^{2}+p+\rho gz=\mathrm {constant}$ ［Pa］

単純形

位置エネルギーの変化が無視できる場合、

非粘性・非圧縮流の定常な流れでは、流線上で

${\frac {1}{2}}\rho v^{2}+p=p_{0}(=\mathrm {constant} )$

が、成り立つ（ $v$ は速さ、 $p$ は圧力、 $\rho$ は密度）。

となる。なお、非圧縮流とは非圧縮性流体（液体）のことではなく低マッハ数の流れを指す。
左辺第一項を動圧、第二項を静圧、右辺の値を総圧という。

静圧（static pressure）： $p$

流体が実際に外界に及ぼす圧力。

動圧（dynamic pressure）： $q={\frac {1}{2}}\rho v^{2}$

動圧は流体要素の運動エネルギーに相当する量であり、次元が圧力に一致するものの、流体要素が速度を保つ限りは周囲の流体要素を押すような効果はない。仮想的には流体要素を静止させられればその瞬間に生じる圧力であるが実際測定はできない。よどみ点圧（=総圧）と静圧の差や、密度と流速から算出される。

総圧（total pressure）： $p_{0}=p+q$

総圧は動圧と静圧の和。よどみ点以外では総圧を直接測定することはできない。全圧ともよぶが、「全圧」は分圧に対しても使われる。

流速が増すと動圧は増すが、上記条件の総圧が一定の系では、そのぶん静圧が減る。

なお、「総圧」も「動圧」もベルヌーイ式の保存性を説明するために使われる言葉で圧力としてはそれ以上の意味はない。これらと区別するために付けられた「静圧」も「圧力」以上の意味は無い。

よどみ点圧

相対的な流れの中の物体表面で流速が0になる点（よどみ点）での圧を、よどみ点圧と呼ぶ。よどみ点では動圧が0なので、よどみ点圧は静圧であり総圧でもある。

直感的解釈

ベルヌーイの定理は非粘性流体の支配方程式であるオイラー方程式から直接導出できるが、ベルヌーイの定理（I）の物理的解釈は流体粒子に対する力と加速度の関係(ニュートンの運動の第2法則)で以下のように解釈が可能である。
流体粒子が圧力の高い領域から低い領域へと水平に流れていくとき、流体粒子が後方から受ける圧力は前方から受ける圧力より大きい。よって流体粒子全体には流線に沿って前方へと加速する力が働く。つまり、粒子の速さは移動につれて大きくなる^[4]。
よって流線上で、相対的に圧力が低い所では相対的に運動エネルギーが大きく、相対的に圧力が高い所では相対的に運動エネルギーが小さい。これは粒子の位置エネルギーと運動エネルギーの関係に相当する。

脚注

^ 日野幹雄『流体力学』朝倉書店、1992年。ISBN 4254200668。

^ “ベルヌーイの定理：楽しい流れの実験教室” (日本語). 日本機械学会流体工学部門：楽しい流れの実験教室. 2021年6月22日閲覧。

^ ^a ^b ^c ^d 巽友正『流体力学』培風館、1982年。ISBN 456302421X。

^ Babinsky, Holger (November 2003). “How do wings work?” (PDF). Physics Education 38 (6): 497. doi:10.1088/0031-9120/38/6/001.

^ Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2 Sections 3.5 and 5.1

^ Lamb, H. (1993). Hydrodynamics (6th ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9 §17–§29

^ ランダウ＆リフシッツ『流体力学』東京図書、1970年。ISBN 4489011660。

^ 飛行機はなぜ飛ぶかのかまだ分からない?? - NPO法人知的人材ネットワーク・あいんしゅたいん - 松田卓也による解説。

^ Glenn Research Center (2006年3月15日). “Incorrect Lift Theory”. NASA. 2012年4月20日閲覧。

^ 早川尚男. “飛行機の飛ぶ訳 (流体力学の話in物理学概論)”. 京都大学OCW. 2013年4月8日閲覧。

^ “Newton vs Bernoulli”. NASA. 2012年4月20日閲覧。

^ Ison, David. Bernoulli Or Newton: Who's Right About Lift? Retrieved on 2009-11-26

^ David Anderson; Scott Eberhardt,. "Understanding Flight, Second Edition" (2 edition (August 12, 2009) ed.). ,McGraw-Hill Professional. ISBN 0071626964

^ 日本機械学会『流れの不思議』（2004年8月20日第一刷発行）講談社ブルーバックス。ISBN 4062574527。

^ Report on the Coandă Effect and lift, オリジナルの2011年7月14日時点におけるアーカイブ。

^ Kundu, P.K. (2011). Fluid Mechanics Fifth Edition. Academic Press. ISBN 0123821002

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「ベルヌーイの定理」の続きの解説一覧
1 ベルヌーイの定理とは
2 ベルヌーイの定理の概要
3 基本形
4 一様重力のもとでの非圧縮非粘性定常流の場合
5 圧縮性流体
6 ベルヌーイの定理と流線曲率の定理
7 揚力とベルヌーイの定理
8 ベルヌーイの定理の拡張

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